Question

3．在如圖的坐標系中，其中第一象限和第四象限存在垂直平面向里的磁感應強度為B的勻強磁場，在坐標系原點的左側2a處有一粒子發(fā)射源，y軸上有兩點M、N，且兩點距離坐標原點的距離均為a，在坐標原點左側$\frac{L}{3}$處固定一長度為$\frac{2L}{3}$彈性絕緣板，垂直x放置且絕緣板關于x軸對稱，如圖所示．現(xiàn)粒子源發(fā)射一重力不計的帶電粒子，帶電粒子沿SM的連線方向由M點進入磁場．已知帶電粒子的質量為m、電荷量為-q，帶電粒子與絕緣板碰后的豎直方向的速度不變，水平方向的速度與碰前的方向相反且大小不變．求：
（1）帶電粒子的速度多大時帶電粒子能由M點直接運動到N點；
（2）如果帶電粒子能由M點直接運動到坐標原點，則帶電粒子第一次通過x軸時距離坐標原點的距離為多大；
（3）帶電粒子的速度多大時，帶電粒子與絕緣板碰撞兩次且能回到S點．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運動的軌跡圖，結合幾何關系求出粒子在磁場中運動的軌道半徑，根據半徑公式求出粒子的速度．
（2）作出粒子運動的軌跡圖，根據幾何關系求出粒子運動的半徑，通過幾何關系求出第一次經過x軸的位置距原點的距離
（3）抓住與擋板碰撞兩次并能回到P點，作出軌跡圖，結合幾何關系，運用半徑公式進行求解．

解答 解：（1）由題意畫出粒子運動軌跡如圖1所示，設SM與x軸正方向夾角為θ，粒子在磁場中做圓周運動的半徑大小為${R}_{1}^{\;}$，由幾何關系得${R}_{1}^{\;}cosθ=L$，其中$cosθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$，解得${v}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$
（2）由題意畫出粒子運動軌跡如圖2所示，設其與x軸交點為C，由幾何關系得${R}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{5}}{4}L$，設C點橫坐標為${x}_{C}^{\;}$，由幾何關系得，帶電粒子第一次通過坐標軸距離原點$\frac{L}{2}$
（3）由題意畫出粒子運動軌跡如圖3所示，設SM與x軸正方向的夾角為θ，粒子在磁場中做圓周運動的半徑大小為${R}_{3}^{\;}$，偏轉一次后在y負方向偏移量為$△{y}_{1}^{\;}$，由幾何關系得$△{y}_{1}^{\;}=2{R}_{3}^{\;}cosθ$，為保證粒子最終能回到P，粒子與擋板碰撞后，速度方向應與SM連線平行，每碰撞一次，粒子進出磁場在y軸上這段距離$△{y}_{2}^{\;}$，可由題給條件，有$\frac{\frac{△{y}_{2}^{\;}}{2}}{\frac{L}{3}}=tanθ$，得$△{y}_{2}^{\;}=\frac{L}{3}$，當粒子只碰二次，其幾何條件是$3△{y}_{1}^{\;}-2△{y}_{2}^{\;}=2L$，解得${R}_{3}^{\;}=\frac{2\sqrt{5}}{9}L$
粒子在磁場中做勻速圓周運動：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{3}^{\;}}$解得：$v=\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$
答：（1）帶電粒子的速度為$\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$帶電粒子能由M點直接運動到N點；
（2）如果帶電粒子能由M點直接運動到坐標原點，則帶電粒子第一次通過x軸時距離坐標原點的距離為$\frac{L}{2}$；
（3）帶電粒子的速度為$\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$時，帶電粒子與絕緣板碰撞兩次且能回到S點．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，對于三小問，關鍵作出三種粒子的軌跡圖，結合幾何關系，運用半徑公式進行求解，難度較大，對數(shù)學幾何的關系要求較高，需加強這方面的訓練．