Question

13．如圖所示，兩平行金屬板水平放置，相距為d，兩極板接在電壓可調(diào)的電源上，兩金屬板之間存在著方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，金屬板右側(cè)有一寬度為d的方向垂直紙面向里的足夠長(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B，且邊界與水平方向的夾角為60°．金屬板中間有一粒子發(fā)射源，會(huì)沿水平方向發(fā)射出電性不同的兩種帶電粒子，調(diào)節(jié)可變電源的電壓，當(dāng)電源電壓為U使，粒子恰好能沿直線飛出金屬板，粒子離開金屬板進(jìn)入有界磁場(chǎng)后分成兩束，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好同時(shí)從兩邊界離開磁場(chǎng)，而且從磁場(chǎng)右邊界離開的粒子的速度方向恰好與磁場(chǎng)邊界垂直，粒子之間的相互作用不計(jì)，粒子的重力不計(jì)，試求：
（1）帶電粒子從發(fā)射源發(fā)出時(shí)的速度大��；
（2）帶負(fù)電粒子的比荷和帶正電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意帶電粒子在平行金屬板內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受的電場(chǎng)力與洛倫茲力相等，由平衡條件即可求解
（2）畫出正負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑和圓心角，洛倫茲力提供向心力，求出帶負(fù)電的粒子的閉合，根據(jù)題意正負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，求出正粒子圓心角，求出時(shí)間表達(dá)式，即可得到正粒子的閉合，由半徑公式求運(yùn)動(dòng)半徑

解答 解：（1）根據(jù)題意帶電粒子在平行金屬板內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受的電場(chǎng)力與洛倫茲力相等，由平衡條件可得：
$\frac{U}afskmagq=qvB$
解得：$v=\frac{U}{dB}$…①
（2）根據(jù)題意可知，帶正電的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，帶負(fù)電的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．作出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，帶負(fù)電的粒子在進(jìn)入磁場(chǎng)后，速度沿水平方向，離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向垂直磁場(chǎng)右邊界，根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，帶負(fù)電的粒子的偏轉(zhuǎn)角為：
${θ}_{1}^{\;}=30°=\frac{π}{6}$
帶負(fù)電的粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：${r}_{1}^{\;}=\fracskmxwbh{sin30°}=2d$…②
根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力可得：${q}_{1}^{\;}vB={m}_{1}^{\;}\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$…③
聯(lián)立①②③得：$\frac{{q}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}=\frac{U}{2dnhrber_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$…④
根據(jù)帶正電的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖可知，帶正電的粒子在進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界夾角為60°，根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，帶正電的粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角
${θ}_{2}^{\;}=120°=\frac{2π}{3}$
根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式有：$T=\frac{2πm}{qB}$
可得帶負(fù)電的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{1}^{\;}=\frac{{θ}_{1}^{\;}{m}_{1}^{\;}}{{q}_{1}^{\;}B}$…⑤
帶正電的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{{θ}_{2}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{q}_{2}^{\;}B}$…⑥
根據(jù)題意可知：${t}_{1}^{\;}={t}_{2}^{\;}$…⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦可得：$\frac{{q}_{2}^{\;}}{{m}_{2}^{\;}}=4\frac{{q}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}=\frac{2U}{lovrnny_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$…⑧
帶正電的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑為：${r}_{2}^{\;}=\frac{{m}_{2}^{\;}v}{{q}_{2}^{\;}B}$…⑨
聯(lián)立①⑧⑨得：${r}_{2}^{\;}=\fraczccbelk{2}$
答：（1）帶電粒子從發(fā)射源發(fā)出時(shí)的速度大小$\frac{U}{dB}$；
（2）帶負(fù)電粒子的比荷$\frac{U}{2vkzxhnj_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$和帶正電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑$\fracspzntsg{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．