Question

9．如圖所示，半徑為$\frac{5}{13}l$、質(zhì)量為m的小球用兩根不可伸長(zhǎng)的輕繩a、b連接，兩輕繩的另一端系在一根豎直桿的A、B兩點(diǎn)上，A、B兩點(diǎn)相距為l，當(dāng)兩輕繩伸直后，A、B兩點(diǎn)到球心的距離均為l．當(dāng)豎直桿以自己為軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)并達(dá)到穩(wěn)定時(shí)（輕繩a、b與桿在同一豎直平面內(nèi)）．求：
（1）豎直桿角速度ω為多大時(shí)，小球恰好離開(kāi)豎直桿．
（2）豎直桿角速度ω為多大時(shí)，b繩恰要拉直
（3）求輕繩a的張力F_a與豎直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）小球恰離開(kāi)豎直桿時(shí)，受重力和拉力，拉力的豎直分力與重力平衡，水平分力提供向心力；
（2）根據(jù)兩繩剛好伸直，利用水平方向的合力提供向心力即可求得
（3）分墻壁對(duì)球有彈力、球飛起、繩子b也有彈力三種情況討論，注意合力的水平分力提供向心力，合力豎直分力為零．

解答 解：（1）小球恰離開(kāi)豎直桿時(shí)，小球與豎直桿間的作用力為零，此時(shí)輕繩a與豎直桿間的夾角為α，由題意可知：$sinα=\frac{5}{13}$
水平方向：F_asinα=mω²r
豎直方向：F_acosα=mg
ω₁=$\sqrt{\frac{13g}{12L}}$
（2）b繩剛好拉直時(shí)α′=60°
$mgtan60°={mω}_{2}^{2}r′$
其中${r}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}L$
解得ω₂=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$

（3）①$ω＜\sqrt{\frac{13g}{12L}}$時(shí)，F(xiàn)_acosα=mg，解得${F}_{a}=\frac{13}{12}mg$
②$\sqrt{\frac{13g}{12L}}＜ω＜\sqrt{\frac{2g}{L}}$時(shí)${F}_{a}sinα=m{ω}^{2}Lsinα$，解得${F}_{a}=m{ω}^{2}L$
③$ω＞\sqrt{2gL}$時(shí)${F}_{a}cos60°+{F}_sin60°=m{ω}^{2}Lsin60°$
F_acos60°=F_bcos60°+mg
解得${F}_{a}=\frac{1}{2}m{ω}^{2}L+mg$
答：（1）豎直桿角速度ω為=$\sqrt{\frac{13g}{12L}}$時(shí)，小球恰好離開(kāi)豎直桿．
（2）豎直桿角速度ω為$\sqrt{\frac{2g}{L}}$時(shí)，b繩恰要拉直
（3）求輕繩a的張力F_a與豎直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω之間的關(guān)系為$ω＜\sqrt{\frac{13g}{12L}}$時(shí) ${F}_{a}=\frac{13}{12}mg$
②$\sqrt{\frac{13g}{12L}}＜ω＜\sqrt{\frac{2g}{L}}$時(shí)${F}_{a}=m{ω}^{2}L$
③$ω＞\sqrt{2gL}$時(shí)${F}_{a}=\frac{1}{2}m{ω}^{2}L+mg$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確明確小球合力的水平分力提供向心力，豎直分力平衡；注意第二問(wèn)要分三種情況討論，運(yùn)算量較大，要細(xì)心