Question

6．如圖所示．有A、B兩個(gè)行星繞同一恒星O做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為T₁，B行星的周期為T₂，在某一時(shí)刻兩行星第一次相遇（即相距最近），若已知半徑之比為R₁：R₂=1：4，則：
（1）A、B兩個(gè)行星的周期之比是多少？
（2）行星A至少再經(jīng)過多少個(gè)周期兩顆行星相距最遠(yuǎn)？
（3）行星A至少再經(jīng)過多少個(gè)周期兩顆行星相距最近？

Answer 1

分析 （1）萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律求出衛(wèi)星的周期，然后求出周期之比．
（2）兩行星相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩行星應(yīng)該在同一直徑上，當(dāng)A比B多轉(zhuǎn)半圈時(shí)兩行星相距最遠(yuǎn)．
（3）兩行星相距最近時(shí)，兩行星應(yīng)該在同一半徑方向上，當(dāng)A比B多轉(zhuǎn)一圈時(shí)兩行星再次相距最近．

解答 解：（1）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}}}$=$\frac{1}{8}$；
（2）兩行星相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩行星應(yīng)該在同一直徑上．所以當(dāng)A比B多轉(zhuǎn)半圈時(shí)兩行星相距最遠(yuǎn)，列出等式：（$\frac{2π}{{T}_{1}}$-$\frac{2π}{{T}_{2}}$）t′=π，解得：t′=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$；
（3）兩行星相距最近時(shí)，兩行星應(yīng)該在同一半徑方向上．所以當(dāng)A比B多轉(zhuǎn)一圈時(shí)兩行星再次相距最近，列出等式：（$\frac{2π}{{T}_{1}}$-$\frac{2π}{{T}_{2}}$）t=2π，解得：t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$；
答：（1）A、B兩個(gè)行星的周期之比是1：8；
（2）行星A至少再經(jīng)過$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$個(gè)周期兩顆行星相距最遠(yuǎn)；
（3）行星A至少再經(jīng)過$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$個(gè)周期兩顆行星相距最近．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，知道萬有引力提供向心力，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題；解該題關(guān)鍵在于掌握A、B的角速度關(guān)系以及能根據(jù)轉(zhuǎn)過的弧度的關(guān)系列出方程．