Question

12．如圖所示．在磁感應(yīng)強度為B的水平勻強磁場中，有一豎直放置的光滑的平行金屬導(dǎo)軌．導(dǎo)軌平面與磁場垂直，導(dǎo)軌間距為L，頂端接有阻值為R的電阻．將一報金屬棒從導(dǎo)軌上的M處以速度v₀豎直向上拋出，棒到達(dá)N處后返回，回到出發(fā)點M時棒的速度為拋出時的一半．己知棒的長度為L，質(zhì)量為m，電阻為r．金屬棒始終在磁場中運動，處于水平且與導(dǎo)軌接觸良好，忽略導(dǎo)軌的電阻．重力加速度為g．求：
（1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，電阻R消耗的電能；
（2）當(dāng)金屬棒向下運動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時的速度大小v；
（3）經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為，金屬的電阻源于定向運動的自由電子與金屬離子的碰撞．已知元電荷為e，求當(dāng)金屬棒向下運動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時，棒中金屬離子對一個自由電子沿棒方向的平均作用力大�。�

Answer 1

分析 （1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，動能減少轉(zhuǎn)化為電能，根據(jù)能量守恒定律求電阻R消耗的電能．
（2）當(dāng)金屬棒向下運動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時重力的功率等于回路的電功率．由此列式求解最大速度．
（3）根據(jù)電流的微觀表達(dá)式I=neSv和金屬棒生熱功率公式P_r=（nSL）fv，結(jié)合進行解答．

解答 解：（1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，由能量守恒得
回路中消耗的電能  Q=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$m（$\frac{{v}_{0}}{2}$）²=$\frac{3}{8}$mv₀²，
電阻R消耗的電能  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{3mR{v}_{0}^{2}}{8（R+r）}$． 
（2）當(dāng)金屬棒向下運動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時作勻速直線運動，
設(shè)最大速度為v，則有  mgv=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$，其中 E=BLv，解得：v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）當(dāng)金屬棒向下運動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時
單位時間內(nèi)機械能減少  P=mgv_m，
金屬棒生熱功率：P_r=$\frac{r}{R+r}$P，
回路中的電流：I=$\frac{BLv}{R+r}$，
設(shè)棒的橫截面積為S，棒中單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為n，
棒中自由電子定向移動的速度為v，金屬離子對自由電子的平均作用力為f．
則  P_r=（nSL）fv，I=neSv．所以：f=$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$；
答：（1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，a．電阻R消耗的電能為$\frac{3mR{v}_{0}^{2}}{8（R+r）}$． 
（2）當(dāng)金屬棒向下運動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時，所具有的最大速度為$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）棒中金屬離子對一個自由電子沿棒方向的平均作用力大小為$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$．

點評 本題是一道電磁感應(yīng)與力學(xué)相結(jié)合的綜合題，解決本題的是握金屬棒穩(wěn)定的條件，理解宏觀與微觀聯(lián)系的橋梁是電流的微觀表達(dá)式．