Question

10．如圖所示，電阻不計的足夠長光滑平行金屬導(dǎo)軌與水平面夾角為θ，導(dǎo)軌間距為l，軌道所在平面的正方形區(qū)域如耐內(nèi)存在著有界勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面向上．電阻相同、質(zhì)量均為m的兩根相同金屬桿甲和乙放置在導(dǎo)軌上，甲金屬桿恰好處在磁場的上邊界處，甲、乙相距也為l．在靜止釋放兩金屬桿的同時，對甲施加一沿導(dǎo)軌平面且垂直甲金屬桿的外力，使甲在沿導(dǎo)軌向下的運動過程中始終以加速度a=gsinθ做勻加速直線運動，金屬桿乙剮進入磁場時即做勻速運動．
（1）求金屬桿的電阻R；
（2）若從釋放金屬桿時開始計時，試寫出甲金屬桿在磁場中所受的外力F隨時間t的變化關(guān)系式；
（3）若從開始釋放兩金屬桿到金屬桿乙剛離開磁場的過程中，金屬桿乙中所產(chǎn)生的焦耳熱為Q，求外力F在此過程中所做的功．

Answer 1

分析 金屬桿由靜止做勻加速直線運動，運動l后，進入磁場時即做勻速運動．由平衡條件可求，安培力進而求得電流、電阻，由牛頓第二定律，可求外力，由焦耳定律可求
金屬桿乙中所產(chǎn)生的焦耳熱，由能量守恒定律可求外力的功．

解答 解：（1）在乙尚未進入磁場中的過程中，甲、乙的加速度相同，設(shè)乙剛進入磁場時的速
  v²=2ax   且 a=gsinθ
 即  v=$\sqrt{2glsinθ}$
 乙剛進入磁場時，對乙由根據(jù)平衡條件得$mgsinθ=\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$
 $R=\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2glsinθ}}{2mgsinθ}$
（2）甲在磁場中運動時，由牛頓第二定律可知，外力F大小始終等于安培力火小即：$F=\frac{{{B^2}{l^2}v}}{2R}$
 v=（gsinθ）t
 解得 $F=\frac{m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{\sqrt{2glsinθ}}t$
方向沿導(dǎo)軌平面并垂直金屬桿甲向下
（3）設(shè)乙從釋放到剛進入磁場過程中做勻加速直線運動所需要的時間為t₁
 l=$\frac{1}{2}（gsinθ）t_1^2$
 ${t_1}=\sqrt{\frac{2l}{gsinθ}}=\frac{l}{gsinθ}\sqrt{2glsinθ}$
設(shè)乙從進入磁場過程至剛離開磁場的過程中做勻速直線運動所需要的時間為t2
 l=vt₂
 ${t_2}=\frac{l}{{\sqrt{2glsinθ}}}=\frac{1}{2gsinθ}\sqrt{2glsinθ}$
設(shè)乙離開磁場時，甲的速度v′
v′=（gsinθ）（t₁+t₂）=$\frac{3}{2}\sqrt{2glsinθ}$
設(shè)甲從開始釋放至乙離開磁場的過程中的位移為x    
 $x=\frac{1}{2}（gsinθ）{（{t_1}+{t_2}）^2}=\frac{9}{4}l$ 
根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得：$mgxsinθ+mg•2lsinθ+{W_F}=2Q+\frac{1}{2}m{v^2}+\frac{1}{2}m{v'^2}$
  W_F=2Q-mglsinθ
答：（1）金屬桿的電阻$R=\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2glsinθ}}{2mgsinθ}$；
（2）甲金屬桿在磁場中所受的外力F隨時間t的變化關(guān)系式$F=\frac{mg2sin2θ}{\sqrt{2glsinθ}}t$；
（3）外力F在此過程中所做的功為2Q-mglsinθ

點評 本題考查了電磁感應(yīng)定律，閉合電路歐姆定律的綜合應(yīng)用，要注意能量守恒的應(yīng)用；在學(xué)習(xí)中要注意訓(xùn)練能量守恒的應(yīng)用方法．