Question

19．如圖所示，x軸上方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向里，大小為B，x軸下方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，方向與y軸的夾角θ為45°且斜向上方．現(xiàn)有一質(zhì)量為m電量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點(diǎn)沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，該離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從x軸上的C點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，該離子經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸夾角為45°．不計(jì)離子的重力，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域和電場(chǎng)區(qū)域足夠大．求：

（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小及速度方向與電場(chǎng)方向的夾角．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出軌跡半徑．畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系，來確定圓心角，并結(jié)合周期公式與牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（3）根據(jù)粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)處理規(guī)律，由運(yùn)動(dòng)的分解，并結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）磁場(chǎng)中帶電粒子在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
由幾何知識(shí)知，x_C=-（r+rcos450）=-$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$，
故，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$，0）．
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
設(shè)粒子從A到C的時(shí)間為t₁，由幾何知識(shí)知：t₁=$\frac{5}{8}$T=$\frac{5πm}{4qB}$，
設(shè)粒子從進(jìn)入電場(chǎng)到返回C的時(shí)間為t₂，其在電場(chǎng)中做勻變速運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有：qE=ma，2v₀=at₂，
解得：t₂=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$，
設(shè)粒子再次進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，由題意得：t₃=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$，
粒子從A點(diǎn)到第三次穿越x軸的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{7πm}{4qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）粒子第一次經(jīng)過x軸后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減為零后又做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
以和離開時(shí)相同的速率第二次進(jìn)入磁場(chǎng)，然后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
設(shè)沿著v₀的方向?yàn)閤′軸，離子沿x′軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
設(shè)沿著電場(chǎng)的方向?yàn)閥′軸，離子沿y′軸做初速為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)x₁=v₀t  ①
y₁=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²   ②
v_y′=$\frac{qE}{m}$  ③
由圖中幾何關(guān)系知：$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=tan45°  ④
設(shè)離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小為v，速度方向與電場(chǎng)方向的夾角為β，
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v′}_{y}^{2}}$  ⑤
tanβ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}′}$  ⑥
由①～⑥式得解得：v=$\sqrt{5}$v₀，β=arctan$\frac{1}{2}$；
答：（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$，0）；
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{7πm}{4qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小為$\sqrt{5}$v₀，速度方向與電場(chǎng)方向的夾角為arctan$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 該題是一道綜合性較強(qiáng)的題，解決此類問題的方法及關(guān)鍵：
（1）尋找突破口（程序法：順藤摸瓜，逆向思維法：反其道而行之．
（2）畫好軌跡圖（在畫圖的基礎(chǔ)上特別注意運(yùn)用幾何知識(shí)尋找關(guān)系．
（3）巧選力學(xué)規(guī)律（力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：根據(jù)帶電粒子所受的力，運(yùn)用牛頓第二定律并結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解．功能關(guān)系：根據(jù)場(chǎng)力及其它外力對(duì)帶電粒子做功引起的能量變化或全過程中的功能關(guān)系，從而可確定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，這條線索不但適用于均勻場(chǎng)，也適用于非均勻場(chǎng)．因此要熟悉各種力做功的特點(diǎn)．解決這類題時(shí)一定要注意臨界條件的挖掘：如“恰好”、“最大”、“最多”、“至少”…等關(guān)鍵詞，往往是解題的突破口．