Question

真空中有一半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，方向垂直紙面向里，Ox為過邊界上O點(diǎn)的切線，如圖所示，從O點(diǎn)在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率均為的電子，設(shè)電子間相互作用忽略，且電子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)半徑也為r，已知電子的電量為e，質(zhì)量為m。

（1）速度方向分別與Ox方向夾角成和的電子，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為多少？

（2）所有從磁場(chǎng)邊界出射的電子，速度方向有何特征？

（3）令在某一平面內(nèi)有M、N兩點(diǎn)，從M點(diǎn)向平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率均為的電子，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，使得由M點(diǎn)發(fā)出的電子都能夠匯聚到N點(diǎn)。[來源:學(xué)科網(wǎng)]

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

（2）因，故。而與電子射出的速度方向垂直，可知電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場(chǎng)時(shí)，速度方向均與Ox軸相同。（3）見解析

解析:

（1）如圖所示，入射時(shí)電子速度與x軸夾角為，無論入射的速度方向與x軸的夾角為何值，入射點(diǎn)均為O，射出點(diǎn)均為A，磁場(chǎng)圓心和軌道圓心一定組成邊長(zhǎng)為r的菱形。因垂直于入射速度，故。即電子在磁場(chǎng)中所轉(zhuǎn)過的角度一定等于入射時(shí)電子速度與Ox軸的夾角。

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

（2）因，故。而與電子射出的速度方向垂直，可知電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場(chǎng)時(shí)，速度方向均與Ox軸相同。

（3）上述的粒子路徑是可逆的，（2）中從圓形磁場(chǎng)射出的這些速度相同的電子再進(jìn)入一相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，一定會(huì)聚焦于同一點(diǎn)，磁場(chǎng)的分布如圖所示，對(duì)于從M點(diǎn)向MN連線上方運(yùn)動(dòng)的電子，兩磁場(chǎng)分別與MN相切，M、N為切點(diǎn)，且平行于兩磁場(chǎng)邊界圓心的連線。設(shè)MN間的距離為l，所加的磁場(chǎng)的邊界所對(duì)應(yīng)圓的半徑為r，故應(yīng)有2r≤l，即≤l，所以所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足B≥。

同理，對(duì)于從M點(diǎn)向MN連線下方運(yùn)動(dòng)的電子，只要使半徑相同的兩圓形磁場(chǎng)與上方的兩圓形磁場(chǎng)位置MN對(duì)稱且磁場(chǎng)方向與之相反即可。

說明：只要在矩形區(qū)域內(nèi)除圖中4個(gè)半圓形磁場(chǎng)外無其他磁場(chǎng)（其中點(diǎn)也無磁場(chǎng)），矩形區(qū)域外的磁場(chǎng)均可向其余區(qū)域擴(kuò)展。