Question

【題目】如圖所示，豎直平面內(nèi)有足夠長、不計電阻的兩組平行光滑金屬導(dǎo)軌，寬度均為L=0.5m，上方連接一個阻值R=1Ω的定值電阻，虛線下方的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場。完全相同的兩根金屬桿1和2靠在導(dǎo)軌上，金屬桿長與導(dǎo)軌等寬且與導(dǎo)軌接觸良好，電阻均為r =0.5Ω。將金屬桿1固定在磁場的上邊緣（仍在此磁場內(nèi)），金屬桿2從磁場邊界上方h0=0.8m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場后恰作勻速運(yùn)動。（g取10m/s2）求：

(1)金屬桿的質(zhì)量m；

(2)若金屬桿2從磁場邊界上方h1=0.2m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場下落一段距離后做勻速運(yùn)動。在金屬桿2加速的過程中整個回路產(chǎn)生了1.4J的電熱。求此過程中流過電阻R的電荷量q；

(3)若金屬桿2仍然從磁場邊界上方h1=0.2m處由靜止釋放，在金屬桿2進(jìn)入磁場的同時釋放金屬桿1，試求兩根金屬桿各自的最大速度。

Answer 1

【答案】(1) m=0.2kg(2)q =0.65C(3) v1=1m/s，v2=3m/s

【解析】

金屬桿2進(jìn)入磁場前做自由落體運(yùn)動，由運(yùn)動學(xué)公式求出進(jìn)入磁場時的速度v，進(jìn)入磁場后做勻速運(yùn)動，重力與安培力平衡，由E=BLv求出感應(yīng)電動勢，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，最后有平衡條件求出m；金屬桿2進(jìn)入磁場經(jīng)過一段時間后開始勻速運(yùn)動，速度大小仍等于v．根據(jù)能量守恒求出h2，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢，由歐姆定律求出電流，最后由電流的定義式求出電量q；釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運(yùn)動，合力等于零時速度最大．根據(jù)平衡條件得到兩桿速度之和．由于兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，任何時刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時間內(nèi)速度的增同，根據(jù)速度增量相同，得到速度的關(guān)系，聯(lián)立求解兩桿的最大速度

(1)金屬桿2進(jìn)入磁場前做自由落體運(yùn)動，進(jìn)入磁場的速度：

金屬桿2進(jìn)入磁場后切割磁感線，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，有感應(yīng)電動勢E=BLvm，感應(yīng)電流

金屬桿恰做勻速運(yùn)動，受安培力和重力平衡：mg=BIL

解出m===0.2kg

(2)金屬桿2自由下落h1，進(jìn)入磁場，做加速運(yùn)動，設(shè)金屬桿2在磁場內(nèi)下降h2后達(dá)到勻速運(yùn)動，在加速的過程中，部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能產(chǎn)生電熱，有mg(h1+h2)=+Q

可得h2=1=1.3m

金屬桿2進(jìn)入磁場到勻速運(yùn)動的過程中，

解出流過電阻的電量：q== C =0.65C

(3)金屬桿2剛進(jìn)入磁場時的速度v==m/s=2m/s

金屬桿2進(jìn)入磁場同時釋放金屬桿1后，回路中有感應(yīng)電流，兩桿都受安培力和重力，且受力情況相同，都向下做加速運(yùn)動，隨速度增大，感應(yīng)電流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等時，速度達(dá)到最大。

金屬桿1和2產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E1=BLv1，E2=BLv2

感應(yīng)電流為　

達(dá)到最大速度時桿的重力等于安培力mg=BIL

整理得到：v1+ v2==4 m/s

因為兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，因此任何時刻兩者的加速度也都相同，在相同時間內(nèi)速度的增量也必相同，即：v1－0 =v2－v

代入數(shù)據(jù)得v2= v1+2

聯(lián)立求出：v1=1m/s，v2=3m/s