Question

1．光滑圓軌道和兩傾斜直軌道組成如圖所示裝置，其中直軌道bc粗糙，直軌道cd光滑，兩軌道相接處為一很小的圓弧．質(zhì)量為m=0.1kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）在圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道最高點(diǎn)a時(shí)的速度大小為v=4m/s，當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到圓軌道與直軌道bc的相切處b時(shí)，脫離圓軌道開(kāi)始沿傾斜直軌道bc滑行，到達(dá)軌道cd上的d點(diǎn)時(shí)速度為零．若滑塊變換軌道瞬間的能量損失可忽略不計(jì)，已知圓軌道的半徑為R=0.25m，直軌道bc的傾角θ=37°，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)=26.25m，滑塊與軌道之間得動(dòng)摩擦因數(shù)為0.8，d點(diǎn)與水平地面間的高度差為h=0.2m，取重力加速度g=10m/s²，sin 37°=0.6．求：
（1）滑塊在圓軌道最高點(diǎn)a時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；
（2）滑塊在直軌道bc上能夠運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）在圓軌道最高點(diǎn)a處滑塊受到的重力和軌道的支持力提供向心力，由牛頓第二定律即可求解；
（2）分別對(duì)上滑的過(guò)程和下滑的過(guò)程中使用牛頓第二定律，求得加速度，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式，即可求得時(shí)間．

解答 解：（1）在圓軌道最高點(diǎn)a處對(duì)滑塊由牛頓第二定律得：$mg+{F_N}=m\frac{v^2}{R}$
所以${F_N}=m（\frac{v^2}{R}-g）$
解得：N=5.4N；
由牛頓第三定律得滑塊在圓軌道最高點(diǎn)a時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為5.4 N．
（2）設(shè)滑塊在bc上向下滑動(dòng)的加速度為a₁，時(shí)間為t₁，向上滑動(dòng)的加速度為a₂，時(shí)間為t₂；在c點(diǎn)時(shí)的速度為v_c．
由c到d：$\frac{1}{2}mv_c^2=mgh$
${v_c}=\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s
a點(diǎn)到b點(diǎn)的過(guò)程：$\frac{1}{2}m{v^2}+mgR（1+cosθ）=\frac{1}{2}mv_b^2$
所以${v_b}=\sqrt{{v^2}+2gR（1+cosθ）}$=5m/s
在軌道bc上：
下滑：$L=\frac{{{v_b}+{v_c}}}{2}{t_1}$
${t_1}=\frac{2L}{{{v_b}+{v_c}}}$=$\frac{2×26.25}{2+5}$=7.5s
上滑：mgsinθ+μmgcosθ=ma₂
a₂=gsinθ+μgcosθ=10×0.6+0.8×10×0.8=12.4m/s²
0=v_c-a₂t₂
${t_2}=\frac{v_c}{a_2}=\frac{5}{31}s$=0.16s
因?yàn)棣蹋総anθ，所以滑塊在軌道bc上停止后不再下滑
滑塊在兩個(gè)斜面上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t_總=t₁+t₂=（7.5+0.16）s=7.66s
答：（1）滑塊在圓軌道最高點(diǎn)a時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是5.4N；
（2）滑塊在直軌道bc上能夠運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是7.66s．

點(diǎn)評(píng) 該題中滑塊經(jīng)歷的過(guò)程比較多，要分析清楚運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在列公式的過(guò)程中一定要注意各物理量與對(duì)應(yīng)的過(guò)程的關(guān)系．