江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試
數(shù)學(xué)試卷
Ⅰ卷(必做題部分 共160分)
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程,請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上.
1.若集合,滿足,則實(shí)數(shù)a= .
2.已知虛數(shù)z滿足等式: ,則 .
3.函數(shù)的最小正周期是 .
4. 某算法的偽代碼如右:則輸出的結(jié)果是 .
5已知條件p:x≤1,條件q: ,則p是q的 條件.
6.甲、乙兩同學(xué)各自獨(dú)立地考察兩個(gè)變量X、Y的線性相關(guān)
關(guān)系時(shí),發(fā)現(xiàn)兩人對(duì)X的觀察數(shù)據(jù)的平均值相等,都是s,對(duì)Y的觀察數(shù)據(jù)的平均值也相等,都是t,各自求出的回歸直線分別是l1、l2,則直線l1與l2必經(jīng)過(guò)同一點(diǎn) 。
7. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn),,且,,則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___________
8. 已知實(shí)數(shù)滿足則的取值范圍是_____ ___.
9.在0到1之間任取兩個(gè)實(shí)數(shù),則它們的平方和大于1的概率是 。
10.若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且焦點(diǎn)為,則它的離心率為 。
11.已知數(shù)列中,,其通項(xiàng)公式=
。
12. 已知函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是 .
13. 三位同學(xué)合作學(xué)習(xí),對(duì)問(wèn)題“已知不等式對(duì)于恒成立,求的取值范圍”提出了各自的解題思路.
甲說(shuō):“可視為變量,為常量來(lái)分析”.
乙說(shuō):“尋找與的關(guān)系,再作分析”.
丙說(shuō):“把字母單獨(dú)放在一邊,再作分析”.
參考上述思路,或自已的其它解法,可求出實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
14.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)任意滿足下列關(guān)系式:.考察下列結(jié)論:①; ②為偶函數(shù);③數(shù)列為等差數(shù)列;④數(shù)列為等比數(shù)列.其中正確的結(jié)論有 _.(請(qǐng)將所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上)
請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).
二、解答題:本大題共6小題,計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟,
15、(本小題滿分14分)某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù)且滿分為100分),把其中不低于50分的分成五段,…后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問(wèn)題:
(Ⅰ)求出物理成績(jī)低于50分的學(xué)生人數(shù);
(Ⅱ)估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率(60分及
以上為及格)
(Ⅲ) 從物理成績(jī)不及格的學(xué)生中選兩人,求
他們成績(jī)至少有一個(gè)不低于50分的概率.
16.(本小題滿分14分)已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若,函數(shù)的值域是,求實(shí)數(shù)的值。
17.(本小題滿分14分)如圖,在長(zhǎng)方體中,,,、分別為、的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面.
18.(本小題滿分16分)已知直線l的方程為,且直線l與x軸交于點(diǎn)M,圓與x軸交于兩點(diǎn)(如圖).
(I)過(guò)M點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn),且圓孤恰為圓周的,求直線的方程;
(II)求以l為準(zhǔn)線,中心在原點(diǎn),且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程;
(III)過(guò)M點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)N,設(shè)(II)中橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,求三角形面積。
19. (本小題滿分16分)已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求非零常數(shù)c;
(3)若(2)中的的前n項(xiàng)和為,求證:
20.(本小題16分)定義在的三個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,
g(x)= ,且g(x)在x=1處取極值。
(I)求a值及h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)求證:當(dāng)1<x< 時(shí),恒有
(III)把h(x)對(duì)應(yīng)的曲線向上平移6個(gè)單位后得曲線,求與g(x)對(duì)應(yīng)曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明道理.
江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試
數(shù)學(xué)試卷
Ⅱ卷(加試題部分 共40分)
加試題共4題,每題10分,請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).
1.設(shè)矩陣對(duì)應(yīng)的變換是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)3倍,再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)2倍的兩個(gè)伸壓變換的復(fù)合,求其逆矩陣以及圓在的作用下的新曲線的方程.
2.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,焦距,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1作一直線,交橢圓于兩點(diǎn)M、N,設(shè),當(dāng)α為何值時(shí),MN與橢圓短軸長(zhǎng)相等?(用極坐標(biāo)或參數(shù)方程方程求解)
3. 如圖,已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中點(diǎn).
(1)求異面直線BE與AC所成角的余弦值;
(2)求二面角A-BE-C的余弦值.
4.盒子中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的卡片各2張,從盒子中任取3張卡片,按3張卡片上最大數(shù)字的8倍計(jì)分,每張卡片被取出的可能性都相等,用表示取出的3張卡片上的最大數(shù)字,求:
(1)取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率;
(2)隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(3)計(jì)分不小于20分的概率.
江蘇省高郵中學(xué)2009屆第一學(xué)期期末模擬考試
高三數(shù)學(xué)
一、填空題:(每小題5分,共70分)
1.2 2. 1+2i 3.π 4. 9 5.充分不必要
6.(s,t) 7. 8. 9. 10.
11. 12. 4 13. 14①③④
二、解答題:(共90分)
15、(本小題滿分14分)
解: (Ⅰ)因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故低于50分的頻率為:
………………………………3分
所以低于50分的人數(shù)為(人)………………………………………….5分
(Ⅱ)依題意,成績(jī)60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組(低于50分的為第一組),
頻率和為
所以,抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是%……………………………………………………8分.
于是,可以估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率約為%……………………………………9分.
(Ⅲ)“成績(jī)低于50分”及“[50,60)”的人數(shù)分別是6,9。所以從成績(jī)不及格的學(xué)生中選兩人,他們成績(jī)至少有一個(gè)不低于50分的概率為:
……………………………………………………14分
16.(本小題滿分14分)
解:
(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ………………………………3分
當(dāng)時(shí),是增函數(shù),
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. ……………7分
(Ⅱ)由得,
因?yàn)?sub> ,所以當(dāng)時(shí),取最小值3,即
當(dāng)時(shí),取最大值4,即
將代入(1)式得. ………………………………14分
17.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)證明:側(cè)面,
側(cè)面,,
………3分
在中,,
則有,
,, ………………………………………6分
又平面. ……………………………………7分
(Ⅱ)證明:連、,連交于,
,,四邊形是平行四邊形,……………10分
………………………11分
又平面,平面,
平面. ………………………14分
18.(本小題滿分16分)
解:(I)為圓周的點(diǎn)到直線的距離為
設(shè)的方程為的方程為…5分
(II)設(shè)橢圓方程為,半焦距為c,則橢圓與圓O恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則或 ………………………………7分
當(dāng)時(shí),所求橢圓方程為;當(dāng)時(shí),
所求橢圓方程為 ………………………………11分
(III)設(shè)切點(diǎn)為N,則由題意得,在中,,則,
N點(diǎn)的坐標(biāo)為,……………………12分
若橢圓為其焦點(diǎn)F1,F2
分別為點(diǎn)A,B故,
若橢圓為,其焦點(diǎn)為,
此時(shí) ………………………………16分
19.(本小題滿分16分)
解:(1)為等差數(shù)列,∵,又,
∴ ,是方程的兩個(gè)根
又公差,∴,∴, …………………………… 2分
∴ ∴ ∴……………………………… 4分
(2)由(1)知, ………………………………… 5分
∴
∴,, ………………………………………… 7分
∵是等差數(shù)列,∴,∴ ………………………… 8分
∴(舍去) ……………………………………………………… 9分
(3)由(2)得 …………………………………………………… 11分
,時(shí)取等號(hào) … 13分
,時(shí)取等號(hào)15分
(1)、(2)式中等號(hào)不可能同時(shí)取到,所以 ………………… 16分
20. (本小題滿分16分)
解(I)由題意:
∴a=2 …………………………………………… 2分
而所以h(x)在上為增函數(shù),h(x)在上為增函數(shù)! 4分
(II)
欲證:只需證:,即證:
記
∴
∴當(dāng)x>1時(shí),為增函數(shù)……………………………….9分
即
∴結(jié)論成立 ………………………………………………………………10分
(III)由 (1)知:
∴對(duì)應(yīng)表達(dá)式為
∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)
即求方程:
即:
設(shè)
∴當(dāng)時(shí),為減函數(shù).
當(dāng)時(shí),為增函數(shù).
而的圖象開(kāi)口向下的拋物線
∴與的大致圖象如圖:
∴與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè). …………………………………16分
江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試
數(shù)學(xué)試卷
Ⅱ卷(加試題部分)參考答案
1.解: ,……………………………………………………… 5分
圓在的作用下的新曲線的方程為 ……10分
2.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,焦距,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1作一直線,交橢圓于兩點(diǎn)M、N,設(shè),當(dāng)α為何值時(shí),MN與橢圓短軸長(zhǎng)相等?
解:以橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)長(zhǎng)軸所在直線為
極軸建立極坐標(biāo)系(如圖)
這里:a=3,c=,
………………………2分
所以橢圓的極坐標(biāo)方程為:
………………………4分
設(shè)M點(diǎn)的極坐標(biāo)為,N點(diǎn)的極坐標(biāo)為,………………5分
解法二:設(shè)橢圓的方程為,其左焦點(diǎn)為,直線MN的參數(shù)方程為:
, ………………4分
將此參數(shù)方程代人橢圓方程并整理得:
,設(shè)M、N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則
2解:(1)以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).
……………………2分
cos<>. ………………………………4分
由于異面直線BE與AC所成的角是銳角,故其余弦值是.………………5分
(2),,設(shè)平面ABE的法向量為,
則由,,得
取n=(1,2,2),
平面BEC的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1),
………………………………7分
.
…………………………………9分
由于二面角A-BE-C的平面角是n1與n2的夾角的補(bǔ)角,其余弦值是-.…… 10分
4.解:(1)記"一次取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的事件"為A,
則 ………………………………………………2分
(2)由題意有可能的取值為:2,3,4,5
………5分
所以隨機(jī)變量的概率分布為:
2
3
4
5
P
所以的數(shù)學(xué)期望為E=+++
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