江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試

數(shù)學(xué)試卷        

Ⅰ卷（必做題部分 共160分）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程,請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上.

1．若集合，滿足，則實(shí)數(shù)a=         ．

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2．已知虛數(shù)z滿足等式： ，則             ．

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3．函數(shù)的最小正周期是               ．

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4. 某算法的偽代碼如右：則輸出的結(jié)果是             .

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5已知條件p:x≤1，條件q： ，則p是q的          條件.

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6.甲、乙兩同學(xué)各自獨(dú)立地考察兩個(gè)變量X、Y的線性相關(guān)

關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩人對(duì)X的觀察數(shù)據(jù)的平均值相等，都是s，對(duì)Y的觀察數(shù)據(jù)的平均值也相等，都是t，各自求出的回歸直線分別是l1、l2，則直線l1與l2必經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)              。

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7. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___________

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8. 已知實(shí)數(shù)滿足則的取值范圍是_____           ___．  

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9.在0到1之間任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則它們的平方和大于1的概率是                   。

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10.若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)為，則它的離心率為            。

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11.已知數(shù)列中，，其通項(xiàng)公式=

           。

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12. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是             ．

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13. 三位同學(xué)合作學(xué)習(xí)，對(duì)問(wèn)題“已知不等式對(duì)于恒成立,求的取值范圍”提出了各自的解題思路.

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 甲說(shuō)：“可視為變量，為常量來(lái)分析”.

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  乙說(shuō)：“尋找與的關(guān)系，再作分析”.

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  丙說(shuō)：“把字母單獨(dú)放在一邊，再作分析”.

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參考上述思路，或自已的其它解法，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍是           ．

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14.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意滿足下列關(guān)系式：.考察下列結(jié)論：①； ②為偶函數(shù)；③數(shù)列為等差數(shù)列；④數(shù)列為等比數(shù)列.其中正確的結(jié)論有              _.(請(qǐng)將所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上)

請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

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二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟,

15、（本小題滿分14分）某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績(jī)（成績(jī)均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，…后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：

（Ⅰ）求出物理成績(jī)低于50分的學(xué)生人數(shù)；

(Ⅱ)估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率（60分及

以上為及格）

(Ⅲ) 從物理成績(jī)不及格的學(xué)生中選兩人，求

他們成績(jī)至少有一個(gè)不低于50分的概率.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16．（本小題滿分14分）已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；.
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，函數(shù)的值域是，求實(shí)數(shù)的值。

 

 

 

 

 

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17．（本小題滿分14分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，、分別為、的中點(diǎn)．

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（Ⅰ）求證：平面；

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（Ⅱ）求證：平面．             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分16分）已知直線l的方程為，且直線l與x軸交于點(diǎn)M，圓與x軸交于兩點(diǎn)（如圖）．

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（I）過(guò)M點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且圓孤恰為圓周的，求直線的方程；

（II）求以l為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程；

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（III）過(guò)M點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)N,設(shè)（II）中橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,求三角形面積。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19. （本小題滿分16分）已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：，．

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（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)c；

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（3）若(2)中的的前n項(xiàng)和為，求證：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本小題16分)定義在的三個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,

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g(x)= ,且g(x)在x=1處取極值。

（I）求a值及h(x)的單調(diào)區(qū)間；

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（II）求證：當(dāng)1<x< 時(shí)，恒有

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（III）把h(x)對(duì)應(yīng)的曲線向上平移6個(gè)單位后得曲線，求與g(x)對(duì)應(yīng)曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明道理.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

Ⅱ卷（加試題部分 共40分）

加試題共4題，每題10分，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

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1.設(shè)矩陣對(duì)應(yīng)的變換是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)3倍，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)2倍的兩個(gè)伸壓變換的復(fù)合，求其逆矩陣以及圓在的作用下的新曲線的方程．

 

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2．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，焦距,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M、N，設(shè),當(dāng)α為何值時(shí)，MN與橢圓短軸長(zhǎng)相等？（用極坐標(biāo)或參數(shù)方程方程求解）

 

 

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3． 如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)．

（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

 

 

 

 

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4．盒子中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的卡片各2張，從盒子中任取3張卡片，按3張卡片上最大數(shù)字的8倍計(jì)分，每張卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3張卡片上的最大數(shù)字，求：

（1）取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率；

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（2）隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

（3）計(jì)分不小于20分的概率．

 

江蘇省高郵中學(xué)2009屆第一學(xué)期期末模擬考試

高三數(shù)學(xué)

試題詳情

一、填空題：（每小題５分，共７０分）

1．2     　 2． 1+2i       3．π     　　　4． 9    　 　5．充分不必要

6．（s,t）　　7．　  8． 　　　9.  　　　10.

11. 　　　12.  4    　　 13. 　　　14①③④

二、解答題：（共９０分）

15、（本小題滿分14分）

解： （Ⅰ）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：

………………………………3分

所以低于50分的人數(shù)為（人）………………………………………….5分

（Ⅱ）依題意，成績(jī)60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），

頻率和為

所以，抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是%……………………………………………………8分.

于是，可以估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率約為%……………………………………9分.

（Ⅲ）“成績(jī)低于50分”及“[50,60)”的人數(shù)分別是6,9。所以從成績(jī)不及格的學(xué)生中選兩人，他們成績(jī)至少有一個(gè)不低于50分的概率為：

              ……………………………………………………14分

 

16．（本小題滿分14分）

解：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，    ………………………………3分

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.   ……………7分

（Ⅱ）由得，

因?yàn)?sub> ，所以當(dāng)時(shí)，取最小值3，即
當(dāng)時(shí)，取最大值4，即
將代入（1）式得.        ………………………………14分

 

17．（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：側(cè)面，

側(cè)面，，

………3分

在中，，

則有， 

，，           ………………………………………6分

又平面．        ……………………………………7分

 

（Ⅱ）證明：連、，連交于，

，，四邊形是平行四邊形，……………10分

                                       ………………………11分

又平面，平面，

平面．                               ………………………14分

 

18．（本小題滿分1６分）

解：（I）為圓周的點(diǎn)到直線的距離為

設(shè)的方程為的方程為…5分

（II）設(shè)橢圓方程為，半焦距為c，則橢圓與圓O恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則或                     ………………………………7分

當(dāng)時(shí)，所求橢圓方程為；當(dāng)時(shí)，

所求橢圓方程為                      ………………………………1１分

（III）設(shè)切點(diǎn)為N，則由題意得，在中，，則，

N點(diǎn)的坐標(biāo)為，……………………1２分

若橢圓為其焦點(diǎn)F1,F2

分別為點(diǎn)A,B故，

若橢圓為，其焦點(diǎn)為,

此時(shí)　　　　　　　　　　………………………………1６分

19.（本小題滿分1６分）

解：（1）為等差數(shù)列，∵，又，

∴ ，是方程的兩個(gè)根

又公差，∴，∴， ……………………………      2分

∴    ∴   ∴………………………………  4分

（2）由(1)知， …………………………………    5分

∴

∴，， …………………………………………  7分

∵是等差數(shù)列，∴，∴ …………………………  8分

∴（舍去） ……………………………………………………… 9分

（3）由(2)得 …………………………………………………… 11分

  ，時(shí)取等號(hào) … 13分

，時(shí)取等號(hào)15分

(1)、(2)式中等號(hào)不可能同時(shí)取到，所以 ………………… 16分

 

20. (本小題滿分16分)

解（I）由題意：

∴a=2                ……………………………………………  2分

而所以h(x)在上為增函數(shù)，h(x)在上為增函數(shù)�！�       4分

（II）

欲證：只需證：，即證：

記

∴

∴當(dāng)x>1時(shí)，為增函數(shù)……………………………….9分

即

∴結(jié)論成立          ………………………………………………………………10分

 

（III）由 （1）知：

∴對(duì)應(yīng)表達(dá)式為

∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)

即求方程：

即：

設(shè)

∴當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).

而的圖象開(kāi)口向下的拋物線

∴與的大致圖象如圖：

∴與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè). …………………………………16分

 

 

 

江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

Ⅱ卷（加試題部分）參考答案

1.解： ，………………………………………………………  5分

圓在的作用下的新曲線的方程為 ……10分

2．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，焦距,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M、N，設(shè),當(dāng)α為何值時(shí)，MN與橢圓短軸長(zhǎng)相等？

解：以橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)長(zhǎng)軸所在直線為

極軸建立極坐標(biāo)系（如圖）

這里:a=3,c=,

………………………2分

所以橢圓的極坐標(biāo)方程為：

………………………４分

設(shè)M點(diǎn)的極坐標(biāo)為，N點(diǎn)的極坐標(biāo)為，………………５分

解法二：設(shè)橢圓的方程為，其左焦點(diǎn)為，直線MN的參數(shù)方程為：

，           ………………４分

將此參數(shù)方程代人橢圓方程并整理得：

，設(shè)M、N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則

2解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

 ……………………2分

cos<>． 　          ………………………………4分

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是．………………5分

（2），，設(shè)平面ABE的法向量為，

則由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一個(gè)法向量為n2＝（0，0，1），

　………………………………7分

．

　    …………………………………9分

由于二面角A－BE－C的平面角是n1與n2的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是－．…… 10分

4．解：（１）記＂一次取出的３張卡片上的數(shù)字互不相同的事件＂為Ａ，

　      則　　………………………………………………２分

（２）由題意有可能的取值為：２，３，４，５

 

 　………５分

所以隨機(jī)變量的概率分布為：

２

３

４

５

Ｐ

　所以的數(shù)學(xué)期望為Ｅ＝＋＋＋

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