專題七：直線和圓

余杭實驗中    任惜芬

【考點審視】

本章是解析幾何的基礎，也是高考對解析幾何進行綜合考查的重要組成部分之一，因為直線和圓是最簡單基本的幾何圖形。研究直線和圓的思想與方法也是解析幾何研究的基本思想與方法，同時也是后繼學習的基礎，所以直線和圓成為高考的必考內(nèi)容。命題的特點：1.本章在高考中主要考查兩類問題：基本概念題和求在不同條件下的直線方程。基本概念重點考查（1）與直線方程特征值（主要指斜率、截距）有關的問題；（2）直線的平行和垂直的條件；（3）與距離有關的問題等。此類題大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形式出現(xiàn)。2.直線與圓、圓錐曲線的位置關系等綜合性試題，此類題難度較大，一般以解答題形式出現(xiàn)。3.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關函數(shù)、數(shù)列、不等式等代數(shù)問題往往借助直線方程進行解決，考查學生的綜合能力及創(chuàng)新能力。4.本章的線性規(guī)劃內(nèi)容是新教材中增加的新內(nèi)容，在高考中極有可能涉及，但難度不會大。應試策略：首先是注重基礎，基本知識、基本題型要掌握好，不必做那些難的有關直線的問題，高考中直線以解答題形式出現(xiàn)的可能性不大。解析幾何解答題大多是關于直線與圓錐曲線關系的綜合題，考查綜合運用知識、分析問題、解決問題的能力，尤其現(xiàn)在高考不要求兩圓錐曲線的交點來解決問題后，直線和圓錐曲線的關系問題更是重要，因此，在復習中要注意滲透本章知識在解答解析幾何綜合問題時的運用。

【疑難點拔】

直線的斜率及直線方程的幾種形式是本章的重點，本章的難點是傾斜角及直線方程的概念，突破難點的方法之一是運用數(shù)形結合，要注意直線方程幾種形式的適用性和局限性，直線方程中的各個參數(shù)都具有明顯的幾何意義，它對直線的位置、點與直線、直線與直線、直線與圓的各種關系的研究十分重要，高考中重點考查運用上述知識解題的變通能力。在解答有關直線的問題時，要注意：

（1）在確定直線的斜率、傾斜角時，首先要注意斜率存在的條件，其次是傾斜角的范圍；

（2）在利用直線的截距式解題時，要注意防止由于“零截距”而造成丟解的情況；

（3）在利用直線的點斜式、斜截式解題時，要注意檢驗不存在的情況，防止丟解；

（4）直線方程的三種形式各有適用范圍，要能根據(jù)題中所給已知條件選用最恰當?shù)谋硎拘问�，并能根�?jù)問題的需要靈活準確地進行互化，在求直線方程時，要注意需二個獨立的條件才能確定。常用的方法是待定系數(shù)法；

（5）兩直線的平行與垂直是現(xiàn)實生活中最常見到的兩種特殊位置關系，故掌握它們的判斷方法就顯得非常重要，特別要提醒的是應把它們的判定和平面兩向量共線與垂直的判定有機地結合在一起；

（6）在由兩直線的位置關系確定有關參數(shù)的值或其范圍時，要充分利用分類討論、數(shù)形結合、特殊值檢驗等基本的數(shù)學思想方法。

(7)直線方程問題是“解析幾何”的基礎，學習時應注意積累下面兩方面的經(jīng)驗：①正確選擇各種直線方程解決各種問題；②通過直線方程問題的解題，逐步認識“解析幾何”問題的解題思維策略，積累“方程”、“坐標”、“圖形”的解題經(jīng)驗。

線性規(guī)劃是直線方程在解決實際問題中的應用，常通過二元一次不等式表示的平面區(qū)域來確定實際問題的解，應用極為廣泛。加強思想方法訓練，培養(yǎng)綜合能力。平面解析幾何的核心是坐標法，它需要運用變化的觀點，運用代數(shù)的方法研究幾何問題，因此在處理解析幾何問題時，從知識到思想方法上都需要與函數(shù)、方程、不等式、三角及平面幾何內(nèi)容相聯(lián)系。

能夠判斷直線與圓、點與圓、圓與圓的位置關系，解決直線與圓的有關問題的基本方法是將直線和圓的方程組成的方程組通過消元，化成一元二次方程，然后靈活使用判別式或違達定理解題；同時要善于利用直線和圓的幾何知識解題。

直線與圓的位置關系是直線的一種重要應用，在高考中每年都有重點的考查，因此在復習時一定注意知識間的橫向聯(lián)系，以達到融匯貫通。

【知識網(wǎng)絡】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

專題七：直線與圓

余杭實驗中學    任惜芬

【經(jīng)典題例】

例1：不等式 表示的平面區(qū)域是在直線（    ）

的點的集合。

（A）左上方      （B）右上方      （C）左下方      （D）右下方

[思路分析]  作出直線，又因為，所以原點在區(qū)域內(nèi)側表示直線的左下方，故選取C。

[簡要評述]  用特殊值法解選擇題是常用的方法。

 

例2：若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍是  (     )

（A） （B） （C） （D）或(-1,1]

[思路分析]  數(shù)形結合的思想，

表示一組斜率為1的平行直線，

表示y軸的右半圓。如圖可知，選（D）

[簡要評述]  數(shù)形結合思想的靈活運用，此題

可以進一步拓展，，等。

 

例3：如果實數(shù)x、y滿足，那么的最大值是            。

[思路分析]  解法一：設直線l：，則表示直線的斜率，直線與圓

相切時，斜率為最大或最小，所以只要求圓心到直線

距離為半徑即可。

解法二：設圓的參數(shù)方程：

則   據(jù)三角知識求解。

解法三：設=t ，則  只要解方程組，利用可得解。

解法四：如圖，聯(lián)結圓心C與切點M，則由OM⊥CM，又Rt△OMC中，OC=2，CM=

        所以，OM=1，得

 [簡要評述]  小題小做，選方法四最為簡單，數(shù)形結合的數(shù)學思想的靈活運用。

 

例4：已知兩點，，求直線的斜率與傾斜角。

[思路分析]  注意斜率存在的條件。當時，不存在。=，當時，

；當時,，當時,

[簡要評述]  此題涉及到分類討論的數(shù)學思想方法，分類討論在歷年的高考中，特別是綜合性題目中常常出現(xiàn)，是重點考查的數(shù)學思想方法之一。

 

例5：過點作兩條互相垂直的直線，分別交、的正半軸于、，若四邊形的面積被直線平分，求直線方程。

[思路分析]  命題有兩種設方程的方案：①設、的點斜式方程，然后求出；②設的截距式方程，經(jīng)過估算，應選第②方案更好。設方程為（a>0,b>0）

∴、。  ∵⊥ ∴

  ∵a>0  0<b<5   ∵方程的一般式為

∴到的距離

∴的面積

而的面積，

∵直線平分四邊形的面積，∴  ， 可得   

故所求方程為和。

[簡要評述] 若命題中的直線與兩坐標軸均有交點，應首先考慮選用截距式方程是否有利。

 

例6：已知，定點A(1,0)，B、C是圓上兩個動點，保持A、B、C在圓上逆時針排列，且(O為坐標原點)，求△ABC重心G的軌跡方程。

[思路分析]  設，則；設G（x，y）

則      ①

        ②

       ①²+②²  得     

即 

[簡要評述] 適當運用圓的參數(shù)方程，設B、C兩點坐標，有利于尋求函數(shù)關系。

 

例7：過點P（-8，0），引圓C： 的割線，求被此圓截得的弦的中點的軌跡方程。

[思路分析] 方法一，      

∵CM⊥PM，∴弦AB的中點M的軌跡是以

P（-8，0）、C（1，-5）中點為圓心，|PC|

長為直徑的圓。

   （圓C的內(nèi)部）

方法二，設M（x，y）為中點，過點P（-8，0）的直線

，又設A（，y₁），B（x₂，y₂），

由方程組 

                                                  

可以得到

據(jù)韋達定理可以得解。                                                

方法三，

化簡得       （圓C的內(nèi)部）

 [簡要評述]  方法一是據(jù)圓的定義得解的較為簡單；方法二容易想到，但計算量太大；方法三是利用平面兩向量垂直的性質與平面兩向量的數(shù)量積，使解題過程簡單化。

 

例8：已知氣象臺A處向西300km處，有個臺風中心，已知臺風以每小時40km的速度向東北方向移動，距臺風中心250km以內(nèi)的地方都處在臺風圈內(nèi)，問：從現(xiàn)在起，大約多長時間后，氣象臺A處進入臺風圈？氣象臺A處在臺風圈內(nèi)的時間大約多長？

[思路分析]  如圖建立直角坐標系，B為臺風中心，

處在臺風圈內(nèi)的界線為以B為圓心，半徑為250的

圈內(nèi)，若t小時后，臺風中心到達B₁點，則

B₁(-300+40tCOS45⁰,40tsin45⁰)，則以B₁為圓心，

250為半徑的圓的方程為

那么臺風圈內(nèi)的點就應滿足 。若氣象臺A處進入臺風圈，那么A點的坐標就應滿足上述關系式，把A點的坐標(0，0)代入上面不等式，得，解得，即為；所以氣象臺A處約在2小時后進入臺風圈，處在臺風圈內(nèi)的時間大約6小時37分。

[簡要評述]  學生怕做應用題，幫助學生分析題意尤其重要。關鍵是尋求有效信息，建立函數(shù)關系式，運算到位。

 

 

【熱身沖刺】

一、選擇題：

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二、填空題：

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三、解答題：

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1―10.CAACB  CCCDB，11．（1，1），12．（-2，3），13．5，14．D=E，15．m＞-1/2

16．因為ｘ²－ｙ²＝0表示過原點的兩條互相垂直的直線：y=x，y=-x，（x-a）²+y²=1表示圓心為C（a，0），半徑為1的動圓，本題討論方程組有實數(shù)解的問題即討論圓與直線有公共點的問題。（1）-≤a≤；（2）當-＜a＜-1或-1＜a＜1或1＜a＜時有四組實數(shù)解，當a=±1時，有三組實數(shù)解，當a=±時，有兩組實數(shù)解，當a＜-或a＞時無實數(shù)解。

17．以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系。設A（-5，0），則B（5，0），在平面內(nèi)任取一點P（x，y），設從A運貨物到P的運費為2a元/km，則從B運到P的費用是a元/km，若P地居民選擇在A地購買此商品，則

即P點在圓C

的內(nèi)部.換言之,圓C內(nèi)部的居民應在A地購買,同理可推得圓C外部的應在B地購物，圓C上的居民可隨意選擇A、B兩地之一購物。

18．嘗試使用對稱法，如圖作A點關于y軸

的對稱點A₁，再作A點關于y=x的對稱點A₂，

在y軸和y=x上公別取點B、 C，則|BA|=|BA₁|，

|AC|=|A₂C|，于是△ABC的周長

|AB|+|BC|+|CA|=|A₁B|+|BC|+|CA₂|，

從而將問題轉化為在y軸，y=x上各取一點，使

折線A₁BCA₂的長度最小。B（0，-17/5）和C（-17/8，-17/8）

19．（1）配方得圓心，將心坐標消去m可得直線a：x-3y-3=0

   （2）設與直線a平行的直線c：x-3y+b=0（b≠-3），則圓心到直線a的距離為

，∵圓的半徑r=5，∴當d＜r時，直線與圓相交，當d=r時，直線與圓相切，當d＞r時直線與圓相離。（3）對于任一條平行于a且與圓相交的直線的直線c，由于圓心到直線c的距離都與m無關，所以弦長與m無關。

20．△ABC為直角三角形，如國圖建立直角坐標系，

則A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），設內(nèi)切圓半徑

為r，則r=1/2（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故內(nèi)切圓方程為

（x-1）²+（y-1）²=1，可設P點坐標（1+Cosα，1+Sinα）

則以PA、PB、PC為直徑的三個圓面積之和S=（10-Cｏｓα）

當Cosα=-1時，Smax=5.5π,

當Cosα=1時, Smin=4.5π.