安徽省泗縣一中2009年高三模擬試題（四月）數(shù)學(xué)（文）

本試卷分第I卷和第II卷兩部分。

考試時(shí)間為120分鐘，滿分為150分。

參考公式：

三棱錐的體積公式，其中表示三棱錐的底面面積，表示三棱錐的高。

第Ⅰ卷（選擇題  共50分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．已知集合，，則=

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A．          B．                C．            D．

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2．已知命題

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    A．                B．

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    C．                D．

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3．向量=（1，-2），=（6，3），則與的夾角為

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A．             B．                 C．            D．

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4．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c, 已知A=, a=, b=1，則c=

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A．1                B．2                C．―1           D．

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5．已知兩條直線，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題：

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①       ②

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③        ④

其中正確命題的序號(hào)是

A．①③             B．②④             C．①④             D．②③

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6． 函數(shù)的部分圖象如圖，則

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A．＝，＝                      B．＝,＝ 

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C．＝,＝                       D．＝,＝

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7. 如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角

三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的表面積為

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A．              B．

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C．                   D．

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8. 已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2為正三角形，則該橢圓的離心率是

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A．               B.              C.                D.

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9. 對(duì)于實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如定義函數(shù)

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則下列命題中正確的是

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    A．                             B．方程有且僅有一個(gè)解

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C．函數(shù)是周期函數(shù)                  D．函數(shù)是增函數(shù)

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10．如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)。連線標(biāo)注的數(shù)字

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表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量�，F(xiàn)從結(jié)點(diǎn)向結(jié)點(diǎn)傳遞信息，信息可

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以分開(kāi)沿不同的路線同時(shí)傳遞。則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為

A．26                               B．24

C．20                               D．19

 

第Ⅱ卷（非選擇題  共100分）

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二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

11．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若              ．

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12．如圖，在直四棱柱A1B1C1D1―ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?i>ABCD滿足條件

              時(shí)，有A1C⊥B1D1．

（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）

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13．直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則

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的最小值為              ．

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14．某公司有60萬(wàn)元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)

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目乙投資的倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬(wàn)元，對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬(wàn)元可獲得0.4

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萬(wàn)元的利潤(rùn)，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬(wàn)元可獲得0.6萬(wàn)元的利潤(rùn)，該公司正確規(guī)劃投資后，在兩

個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤(rùn)為               萬(wàn)元．

 

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三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

15．（本小題滿分12分）

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已知向量 ,函數(shù)

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（1）求的最小正周期;    

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（2）當(dāng)時(shí), 若求的值．

 

 

 

 

 

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16．（本小題滿分12分）

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已知函數(shù)，常數(shù)

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   （1）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

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（2）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．

 

 

 

 

 

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17．（本小題滿分14分）

如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，點(diǎn)E、F

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分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．

（1）求證：AF∥平面PCE；

（2）求證：平面PCE⊥平面PCD；

（3）求三棱錐C－BEP的體積．

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分14分）

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設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，且

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構(gòu)成等差數(shù)列．

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（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；

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（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分14分）

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已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切.

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（1）求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；

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（2）是否存在直線，使過(guò)點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足

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？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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已知，且三次方程有三個(gè)實(shí)根．

（1）類比一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，寫(xiě)出此方程根與系數(shù)的關(guān)系；

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（2）若，在處取得極值且，試

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求此方程三個(gè)根兩兩不等時(shí)的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題（每小題5分，共50分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

B

B

C

C

A

D

C

D

 

二、填空題（每小題5分，共20分）

11.     8     ；              12. AC⊥BD （ ABCD是正方形或菱形）； 

13.         ；              14.           ；

三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

15.（本小題滿分12分）

解：（1）           …………………………1分

      ………………………………2分

.      ………………………………………4分

的最小正周期是.      …………………………………6分

（2）由得      …………………….8分

∵，∴　∴     …………10分

∴        ………………………………………………12分

16.（本小題滿分12分）

解：（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意

      為偶函數(shù)   ……………………3分

      當(dāng)時(shí)，

      取，得    

        函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)……6分

（2）解法一：要使函數(shù)在上為增函數(shù)等價(jià)于在上恒成立                              ……………8分

即在上恒成立，故在上恒成立

∴                   …………………………………10分

∴  的取值范圍是           ………………………………12分

解法二：設(shè)

    ………8分 

    要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立

    ，即恒成立   …………………………………10分

    又，  

    的取值范圍是       ………………………………12分

17.（本小題滿分14分）

證明: （1）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG

∴FG為△CDP的中位線  ∴FGCD……1分

∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)

∴ABCD     ∴FGAE

∴四邊形AEGF是平行四邊形   ………………2分

∴AF∥EG                       ………3分

又EG平面PCE，AF平面PCE  ………4分

∴AF∥平面PCE   ………………………………………5分

     （2）∵ PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A

∴CD⊥平面ADP

又AF平面ADP         ∴CD⊥AF ……………………………… 6分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD為等腰直角三角形   ∴PA＝AD=2   …………………………  7分

∵F是PD的中點(diǎn)

∴AF⊥PD，又CDPD=D

∴AF⊥平面PCD                    ………………………………  8分

∵AF∥EG

∴EG⊥平面PCD                    ……………………………  9分

又EG平面PCE

平面PCE⊥平面PCD                 …………………………… 10分

（3）三棱錐C－BEP即為三棱錐P－BCE     ……………………………11分

PA是三棱錐P－BCE的高，

Rt△BCE中，BE=1，BC=2，

∴三棱錐C－BEP的體積

VC－BEP=VP－BCE= … 14分

18.（本小題滿分14分）

解：（1）由已知得          解得．…………………1分

    設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得．

又，可知，即，      …………………4分

解得．

由題意得．  ．………………………………………… 6分

故數(shù)列的通項(xiàng)為．  … ……………………………………8分

（2）由于    由（1）得

    =  ………………………………………10分

    又

    是首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列            ……………12分

   

        …………………………14分

19．（本小題滿分14分）

解：（1）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心， ，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：             ……………………………………2分

即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，

由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，            

為準(zhǔn)線， 

∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為     ……………………………………5分

（2）由題可設(shè)直線的方程為

由得   

   △，    ………………………………………………7分

設(shè)，，則，  ………………………9分

   由，即 ，，于是，……11分

即，，

   ，解得或（舍去），  …………………13分

又，   ∴ 直線存在，其方程為       ……………14分

20.（本小題滿分14分）

解：（1）由已知，得，比較兩邊系數(shù)，

得．      ……………………4分

   （2）令，要有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)有

一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，且極大值大于0，極小值小于0．  …………5分

由已知，得有兩個(gè)不等的實(shí)根，

，     得．……… 6分

又，，將代入（1）（3），有，又

．，              ………8分

則，且在處取得極大值，在處取得極小值10分      故要有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

則必須                 ……………… 12分

  解得．                            ………………… 14分

 

 


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