12．如圖，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V-ABC的底面ABC，等邊∆ AB₁C所在的平面與底面ABC垂直，且ACB=90°，設(shè)AC=2a,BC=a．

(1)求證直線B₁C₁是異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；

(2)求點A到平面VBC的距離；

(1)證明：∵平面∥平面，

,

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，，

又，．為與的公垂線．

(2)解法1：過A作于D， ∵△為正三角形，∴D為的中點．

∵BC⊥平面∴，

又，∴AD⊥平面，

∴線段AD的長即為點A到平面的距離．

在正△中，．

∴點A到平面的距離為．

解法2：取AC中點O連結(jié)，則⊥平面，且=．

由(1)知，設(shè)A到平面的距離為x，，

即，解得．

即A到平面的距離為．

所以到平面的距離為．

空間的距離有：點與點、點到直線、點到平面、兩平行直線、兩異面直線、線與面、面與面、球面上兩點間的距離。這七種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為點到點、點到線、點到面這三種距離,其中,點到面的距離是重點．

在求距離的過程中，常常由“作出距離”、“證明”、“計算”三部分組成。

在計算點到面的距離時，常將所求的“垂線段”放到某一個平面中加以分析，運(yùn)用勾股定理、正余弦定理進(jìn)行計算, 或運(yùn)用等積法進(jìn)行計算。

11．已知l是過正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點的平面AB₁D₁與下底面ABCD所在平面的交線，

(1)求證：D₁B₁∥l；

(2)若AB=a，求l與D₁間的距離．

(1)證明：∵D₁B₁∥BD，∴D₁B₁∥平面ABCD．

又平面ABCD∩平面AD₁B₁=l，∴D₁B₁∥l．

(2)解：∵D₁D⊥平面ABCD，

在平面ABCD內(nèi)，由D作DG⊥l于G，連結(jié)D₁G，

則D₁G⊥l，D₁G的長即等于點D₁與l間的距離．

∵l∥D₁B₁∥BD，∴∠DAG=45°．

∴DG=a，D₁G===a．

10．在空間四邊形ABCD中，AD=AC=BD=BC=a，AB=CD=b，E、F分別是AB、CD的中點．

(1)求證：EF是AB和CD的公垂線；

(2)求AB和CD間的距離．

證明：(1)連結(jié)AF、BF，

，∴，

∴．又，∴，同理：EFCD．

∴EF是AB和CD的公垂線．

解:(2)EF就是AB和CD的距離．在，

9．已知Rt△ABC的直角頂點C在平面α內(nèi)，斜邊AB∥α，AB=2，AC、BC分別和平面α成45°和30°角，則AB到平面α的距離為__________．2

8．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是　 　　．

7．在中，，所在平面外一點到三頂點的距離都是，則到平面的距離是　　　　　　　　　　　 ( 　)

A．　　　　 　　　　　 B．　　　　 　　　　　　 C．　　　　 　　　　　　 D．

6．把邊長為的正三角形沿高線折成的二面角，點到的距離是( D)

A．　　　 　　　　　　　 B．　　　 　　　　 C．　　　 　　　　 D．

5．在四面體中，兩兩垂直，是面內(nèi)一點，到三個面的距離分別是，則到的距離是　 ( 　)

A．　　　　 　　　　　　 B．　　　　　 　　　　 C．　　　　 　　　　　 D．

4．已知正方形所在平面，，點到平面的距離為，點到平面的距離為，則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( D　 )

A．　 　　　 B．　　 　 C．　　 　　 D．

3．正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E是A₁B₁的中點，則E到平面AB C₁D₁的距離為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( B )

A．　　　 　　　　　　　 B．　　 　　　　　　 C．　 　　　　　　　　　　 D．