3．電子自靜止開始經(jīng)M、N板間(兩板間的電壓為u)的電場加速后從A點垂直于磁場邊界射入寬度為d的勻強磁場中，電子離開磁場時的位置P偏離入射方向的距離為L，如圖所示.求勻強磁場的磁感應(yīng)強度.(已知電子的質(zhì)量為m，電量為e)

2．如圖所示，x軸上方有垂直紙面向里的勻強磁場.有兩個質(zhì)量相同，電荷量也相同的帶正、負電的離子(不計重力)，以相同速度從O點射入磁場中，射入方向與x軸均夾θ角.則正、負離子在磁場中

A.運動時間相同　　　　　　　　　

B.運動軌道半徑相同

C.重新回到x軸時速度大小和方向均相同

D.重新回到x軸時距O點的距離相同

1．如圖所示，豎直向下的勻強磁場穿過光滑的絕緣水平面，平面上一個釘子O固定一根細線，細線的另一端系一帶電小球，小球在光滑水平面內(nèi)繞O做勻速圓周運動.在某時刻細線斷開，小球仍然在勻強磁場中做勻速圓周運動，下列說法一定錯誤的是

A.速率變小，半徑變小，周期不變　　 B.速率不變，半徑不變，周期不變

C.速率不變，半徑變大，周期變大　　 D.速率不變，半徑變小，周期變小

3．穿過矩形磁場區(qū)。一定要先畫好輔助線(半徑、速度及延長線)。偏轉(zhuǎn)角由sinθ=L/R求出。側(cè)移由R²=L²-(R-y)²解出。經(jīng)歷時間由得出。

注意，這里射出速度的反向延長線與初速度延長線的交點不再是寬度線段的中點，這點與帶電粒子在勻強電場中的偏轉(zhuǎn)結(jié)論不同！

[例8]如圖所示，一束電子(電量為e)以速度v垂直射入磁感強度為B，寬度為d的勻強磁場中，穿透磁場時速度方向與電子原來入射方向的夾角是30°，則電子的質(zhì)量是　　　　 ，穿透磁場的時間是　　　 　　。

解析：電子在磁場中運動，只受洛侖茲力作用，故其軌跡是圓弧的一部分，又因為f⊥v，故圓心在電子穿入和穿出磁場時受到洛侖茲力指向交點上，如圖中的O點，由幾何知識知，AB間圓心角θ＝30°，OB為半徑。

∴r=d/sin30°=2d，又由r=mv/Be得m=2dBe/v

又∵AB圓心角是30°，∴穿透時間t=T/12，故t=πd/3v。

帶電粒子在長足夠大的長方形磁場中的運動時要注意臨界條件的分析。如已知帶電粒子的質(zhì)量m和電量e，若要帶電粒子能從磁場的右邊界射出，粒子的速度v必須滿足什么條件？這時必須滿足r=mv/Be>d，即v>Bed/m.

[例9]長為L的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場，如圖所示，磁感強度為B，板間距離也為L，板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子(不計重力)，從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是：

A．使粒子的速度v<BqL/4m；

B．使粒子的速度v>5BqL/4m；

C．使粒子的速度v>BqL/m；

D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。

解析：由左手定則判得粒子在磁場中間向上偏，而作勻速圓周運動，很明顯，圓周運動的半徑大于某值r₁時粒子可以從極板右邊穿出，而半徑小于某值r₂時粒子可從極板的左邊穿出，現(xiàn)在問題歸結(jié)為求粒子能在右邊穿出時r的最小值r₁以及粒子在左邊穿出時r的最大值r₂，由幾何知識得：

粒子擦著板從右邊穿出時，圓心在O點，有：

r₁²＝L²+(r₁-L/2)²得r₁=5L/4，

又由于r₁=mv₁/Bq得v₁=5BqL/4m，∴v>5BqL/4m時粒子能從右邊穿出。

粒子擦著上板從左邊穿出時，圓心在O＇點，有r₂＝L/4，又由r₂＝mv₂/Bq=L/4得v₂＝BqL/4m

∴v₂<BqL/4m時粒子能從左邊穿出。

綜上可得正確答案是A、B。

針對訓練

2．穿過圓形磁場區(qū)。畫好輔助線(半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線)。偏角可由求出。經(jīng)歷時間由得出。

注意：由對稱性，射出線的反向延長線必過磁場圓的圓心。

[例6]如圖所示，一個質(zhì)量為m、電量為q的正離子，從A點正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B。要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次后仍從A點射出，求正離子在磁場中運動的時間t.設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電量損失，不計粒子的重力。

解析：由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量損失和電量損失，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運動的軌跡是對稱的，如圖所示。設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞n次()，則每相鄰兩次碰撞點之間圓弧所對的圓心角為2π/(n+1)_.由幾何知識可知，離子運動的半徑為

離子運動的周期為，又，

所以離子在磁場中運動的時間為.

[例7]圓心為O、半徑為r的圓形區(qū)域中有一個磁感強度為B、方向為垂直于紙面向里的勻強磁場，與區(qū)域邊緣的最短距離為L的O＇處有一豎直放置的熒屏MN，今有一質(zhì)量為m的電子以速率v從左側(cè)沿OO＇方向垂直射入磁場，越出磁場后打在熒光屏上之P點，如圖所示，求O＇P的長度和電子通過磁場所用的時間。

解析 ：電子所受重力不計。它在磁場中做勻速圓周運動，圓心為O″，半徑為R。圓弧段軌跡AB所對的圓心角為θ，電子越出磁場后做速率仍為v的勻速直線運動， 如圖4所示，連結(jié)OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可見O、B、P在同一直線上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形OO＇P中，O＇P=(L+r)tanθ，而，，所以求得R后就可以求出O＇P了，電子經(jīng)過磁場的時間可用t=來求得。

　 由得R=

，

，

1、帶電粒子在半無界磁場中的運動

[例5]一個負離子，質(zhì)量為m，電量大小為q，以速率v垂直于屏S經(jīng)過小孔O射入存在著勻強磁場的真空室中，如圖所示。磁感應(yīng)強度B的方向與離子的運動方向垂直，并垂直于圖1中紙面向里.

(1)求離子進入磁場后到達屏S上時的位置與O點的距離.

(2)如果離子進入磁場后經(jīng)過時間t到達位置P，證明:直線OP與離子入射方向之間的夾角θ跟t的關(guān)系是。

解析：(1)離子的初速度與勻強磁場的方向垂直，在洛侖茲力作用下，做勻速圓周運動.設(shè)圓半徑為r，則據(jù)牛頓第二定律可得：

　，解得

如圖所示，離了回到屏S上的位置A與O點的距離為：AO=2r

　　　　　 所以

(2)當離子到位置P時，圓心角：

因為，所以.

3.洛倫茲力大小的計算

帶電粒子在勻強磁場中僅受洛倫茲力而做勻速圓周運動時，洛倫茲力充當向心力，由此可以推導(dǎo)出該圓周運動的半徑公式和周期公式：　

[例3] 如圖直線MN上方有磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場。正、負電子同時從同一點O以與MN成30°角的同樣速度v射入磁場(電子質(zhì)量為m，電荷為e)，它們從磁場中射出時相距多遠？射出的時間差是多少？

解：由公式知，它們的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫出半徑，由對稱性知：射入、射出點和圓心恰好組成正三角形。所以兩個射出點相距2r，由圖還可看出，經(jīng)歷時間相差2T/3。答案為射出點相距，時間差為。關(guān)鍵是找圓心、找半徑和用對稱。

[例4] 一個質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P(a，0)點以速度v，沿與x正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強磁場的磁感應(yīng)強度B和射出點的坐標。

解：由射入、射出點的半徑可找到圓心O^/，并得出半徑為；射出點坐標為(0，)。

帶電粒子在磁場中的運動是高中物理的一個難點，也是高考的熱點。在歷年的高考試題中幾乎年年都有這方面的考題。帶電粒子在磁場中的運動問題，綜合性較強，解這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運動的知識，又要用到數(shù)學中的平面幾何中的圓及解析幾何知識。

25.(09山東卷)(18分)如圖甲所示，建立Oxy坐標系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，第一四象限有磁場，方向垂直于Oxy平面向里。位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸間右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計的帶電粒子在0~3t時間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓(不考慮極邊緣的影響)。

已知l=0時刻進入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時，刻經(jīng)極板邊緣射入磁場。上述m、q、l、l₀、B為已知量。(不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況)

(1)　　 求電壓U的大小。

(2)　　 求時進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑。

(3)　　 時把兩板間的帶電粒子在磁場中的運動時間最短？求此最短時間。

解析：

(1)時刻進入兩極板的帶電粒子在電場中做勻變速曲線運動，時刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負方向偏移的距離為，則有①，②　　　 ③

聯(lián)立以上三式，解得兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為④。

(2)時刻進入兩極板的帶電粒子，前時間在電場中偏轉(zhuǎn)，后時間兩極板沒有電場，帶電粒子做勻速直線運動。

帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為⑤

帶電粒子離開電場時沿y軸負方向的分速度大小為⑥

帶電粒子離開電場時的速度大小為⑦

設(shè)帶電粒子離開電場進入磁場做勻速圓周運動的半徑為R，則有⑧

聯(lián)立③⑤⑥⑦⑧式解得⑨。

(3)時刻進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動時間最短。帶電粒子離開磁場時沿y軸正方向的分速度為⑩，

設(shè)帶電粒子離開電場時速度方向與y軸正方向的夾角為，則，

聯(lián)立③⑤⑩式解得，帶電粒子在磁場運動的軌跡圖如圖所示，圓弧所對的圓心角為，所求最短時間為,帶電粒子在磁場中運動的周期為，聯(lián)立以上兩式解得。

[考點]帶電粒子在勻強電場、勻強磁場中的運動

[例1]磁流體發(fā)電機原理圖如右。等離子體高速從左向右噴射，兩極板間有如圖方向的勻強磁場。該發(fā)電機哪個極板為正極？兩板間最大電壓為多少？

解：由左手定則，正、負離子受的洛倫茲力分別向上、向下。所以上極板為正。正、負極板間會產(chǎn)生電場。當剛進入的正負離子受的洛倫茲力與電場力等值反向時，達到最大電壓：U=Bdv。當外電路斷開時，這也就是電動勢E。當外電路接通時，極板上的電荷量減小，板間場強減小，洛倫茲力將大于電場力，進入的正負離子又將發(fā)生偏轉(zhuǎn)。這時電動勢仍是E=Bdv，但路端電壓將小于Bdv。

在定性分析時特別需要注意的是：

⑴正負離子速度方向相同時，在同一磁場中受洛倫茲力方向相反。

⑵外電路接通時，電路中有電流，洛倫茲力大于電場力，兩板間電壓將小于Bdv，但電動勢不變(和所有電源一樣，電動勢是電源本身的性質(zhì)。)

⑶注意在帶電粒子偏轉(zhuǎn)聚集在極板上以后新產(chǎn)生的電場的分析。在外電路斷開時最終將達到平衡態(tài)。

[例2] 半導(dǎo)體靠自由電子(帶負電)和空穴(相當于帶正電)導(dǎo)電，分為p型和n型兩種。p型中空穴為多數(shù)載流子；n型中自由電子為多數(shù)載流子。用以下實驗可以判定一塊半導(dǎo)體材料是p型還是n型：將材料放在勻強磁場中，通以圖示方向的電流I，用電壓表判定上下兩個表面的電勢高低，若上極板電勢高，就是p型半導(dǎo)體；若下極板電勢高，就是n型半導(dǎo)體。試分析原因。

解：分別判定空穴和自由電子所受的洛倫茲力的方向，由于四指指電流方向，都向右，所以洛倫茲力方向都向上，它們都將向上偏轉(zhuǎn)。p型半導(dǎo)體中空穴多，上極板的電勢高；n型半導(dǎo)體中自由電子多，上極板電勢低。

注意：當電流方向相同時，正、負離子在同一個磁場中的所受的洛倫茲力方向相同，所以偏轉(zhuǎn)方向相同。

25.(20分)

解：(1)設(shè)彈簧的彈力做功為W，有：　　①

代入數(shù)據(jù)，得：W＝J　　　　�、�

說明：①②式各2分。

(2)由題給條件知，N碰后作平拋運動，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷。設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向，有: ③

而： 　　　　　　　�、�

若P、N碰后速度同向時，計算可得V<v1，這種碰撞不能實現(xiàn)。P、N碰后瞬時必為反向運動。有： ⑤

P、N速度相同時，N經(jīng)過的時間為，P經(jīng)過的時間為。設(shè)此時N的速度V1的方向與水平方向的夾角為，有： 　　　�、�

　　　　　⑦

代入數(shù)據(jù)，得： 　　　　�、�

對小球P，其圓周運動的周期為T，有：　　�、�

經(jīng)計算得： 　

P經(jīng)過時，對應(yīng)的圓心角為，有： 　　⑩

當B的方向垂直紙面朝外時，P、N的速度相同，如圖可知，有：

聯(lián)立相關(guān)方程得：

比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同。

當B的方向垂直紙面朝里時，P、N的速度相同，同樣由圖，有：

同上得：

比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時刻也不可能相同。

說明：式各1分。

(3)當B的方向垂直紙面朝外時，設(shè)在t時刻P、N的速度相同， ，

再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：

　考慮圓周運動的周期性，有：

當B的方向垂直紙面朝里時，設(shè)在t時刻P、N的速度相同，

同理得：

考慮圓周運動的周期性，有:

(給定的B、q、r、m、等物理量決定n的取值)

說明：式各1分。

(09天津卷)11.(18分)如圖所示，直角坐標系xOy位于豎直平面內(nèi)，在水平的x軸下方存在勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應(yīng)為B,方向垂直xOy平面向里，電場線平行于y軸。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點水平向右拋出，經(jīng)x軸上的M點進入電場和磁場，恰能做勻速圓周運動，從x軸上的N點第一次離開電場和磁場，MN之間的距離為L,小球過M點時的速度方向與x軸的方向夾角為.不計空氣阻力，重力加速度為g,求

(1)　　 電場強度E的大小和方向；

(2)　　 小球從A點拋出時初速度v₀的大小;

(3)　　 A點到x軸的高度h.

答案(1)，方向豎直向上　 (2)　　　 (3)

[解析]本題考查平拋運動和帶電小球在復(fù)合場中的運動。

(1)小球在電場、磁場中恰能做勻速圓周運動，說明電場力和重力平衡(恒力不能充當圓周運動的向心力)，有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　 ②

重力的方向豎直向下，電場力方向只能向上，由于小球帶正電，所以電場強度方向豎直向上。

(2)小球做勻速圓周運動，O′為圓心，MN為弦長，，如圖所示。設(shè)半徑為r，由幾何關(guān)系知　　 　　　　　　　�、�

小球做勻速圓周運動的向心力由洛侖茲力白日提供，設(shè)小球做圓周運動的速率為v，有

　　 由速度的合成與分解知　　　　 　　　　　　　　　　⑤

由③④⑤式得　　 　　　　　　　　　　　　　　�、�

(3)設(shè)小球到M點時的豎直分速度為v_y，它與水平分速度的關(guān)系為　　　　　　　 �、�

由勻變速直線運動規(guī)律　　 　　　　　　　　⑧

由⑥⑦⑧式得　　 　　　　　　　　　　　�、�

25.(09四川卷)(20分)

如圖所示，輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，另一端連接一帶電小球P,其質(zhì)量m=2×10^-2 kg,電荷量q=0.2 C.將彈簧拉至水平后，以初速度v₀=20 m/s豎直向下射出小球P,小球P到達O點的正下方O₁點時速度恰好水平，其大小v=15 m/s.若O、O₁相距R=1.5 m,小球P在O₁點與另一由細繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細繩，同時在空間加上豎直向上的勻強電場E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強度B=1T的弱強磁場。此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5 m的圓周運動。小球P、N均可視為質(zhì)點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g=10 m/s²。那么，

(1)彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？

(2)請通過計算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度。

(3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時刻具有相同速度的前提下，請推導(dǎo)出r的表達式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運動速度與水平方向的夾角)。