2.在已知一個角的三角函數(shù)值,求這個角的其他三角函數(shù)值時,要注意題設中角的范圍,并就不同的象限正確確定三角函數(shù)值的符號,求出相應的值.
1.任意角、弧度制、與角度制的互化,弧長、扇形面積公式;任意角的三角函數(shù)概念.
[例1]已知α是第二象限的角
(1) 指出α/2所在的象限,并用圖象表示其變化范圍;
(2) 若α還滿足條件|α+2|≤4,求α的取值區(qū)間;
(3) 若,求α-β的范圍.
解:依題意,2kπ+π/2<α<2kπ+π(k∈Z)
(1) 所以kπ+π/4<α/2<kπ+π/2(k∈Z),若k為偶數(shù),則α/2是第一象限的角;若k為奇數(shù),則α/2是第三象限的角;其變化范圍如圖中的陰影部分所示(不含邊界)
(2) 因為|α+2|≤4,所以-6≤α≤2,
即α∈(2kπ+π/2,2kπ+π)∩[-6,2],
結(jié)合數(shù)軸可知,α∈(-3π/2,-π)∪(π/2,2。
(3)
又
◆提煉方法: 理解象限角、終邊相同的角、區(qū)間角的概念,掌握α角的取值范圍與2α、α/2角的取值范圍間的相互關(guān)系。
[例2]化簡(1) ()
(2);
(3) 若sinα·cosα<0,sinα·tanα<0,化簡+.
解:(1)當k為偶數(shù)時,原式==-1;當k為奇數(shù)時同理可得,原式=-1,故當時,原式=-1。
(2)原式==3
(3)由所給條件知α是第二象限角,則是第一或第三象限角.
原式==
=
◆關(guān)鍵點注:(1)分清k的奇偶,決定函數(shù)值符號是關(guān)鍵;
(2)平方式降次是化簡的重要手段之一。
[例3](1)確定lg(cos6-sin6)的符號;
(2)若+=0,判斷cos(sinα)•sin(cosα)的符號。
解:(1)∵6是第四象限的角,∴cos6>0,sin6<0,故cos6-sin6>0;
∵(cos6-sin6)2=1-2sin6cos6>1,∴cos6-sin6>1,∴l(xiāng)g(cos6-sin6)>0
(2)由題意可得=0,∴sinα•cosα<0,故α在第二或第四象限。
① 若α在第二象限,則0<sinα<1,-1<cosα<0,∴cos(sinα)>0,
sin(cosα)<0;∴原式<0。
② 若α在第四象限,則-1<sinα<0,0<cosα<1,∴cos(sinα)>0,
sin(cosα)>0;∴原式>0。
◆思路方法:判斷角所在的象限是解決此類問題的關(guān)鍵。對于用弧度制表示的角不好判定所在象限時,可轉(zhuǎn)化成角度來表示。
[例4]時鐘上自7點整到分針與 時針第一次重合,求分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù).如果分針長11cm,求分針轉(zhuǎn)過扇形的面積.
解:設分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對值為x,則時針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)的絕對值為,由分針、時針轉(zhuǎn)過的時間相等得:(分鐘)。
分針轉(zhuǎn)過扇形的面積
答:分針轉(zhuǎn)過,轉(zhuǎn)過扇形的面積為77πcm2.
[研討.欣賞]證明:(1)
(2) 若sinα=msinβ,tanα=ntanβ,且α,β為銳角,則
證明(1)法一:右邊=
左邊
法二:要證等式即證
只需證 即證
即顯然成立,所以原等式成立。
(2)(注意結(jié)論,應消去β)
由 ①
由sinα=msinβ ②
得,代入①得ncosα=mcosβ與②平方相加得(n2-1)cos2α=m2-1.
∵α是銳角, ∴
◆思維點撥:1.證等式常用方法:從一邊推另一邊;化繁為簡;左右歸一;變形論證;綜合法;比較法等.
2.常用變形技巧:切割化弦,化異為同,湊分母,“1”的代換.
6.依題意得解得a=或a=1(舍去).
5. ∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+.
∴sin(2α+β)=sin[2(α+β)-β]=sinβ=.
4.從cosα=中可推知sinα、cotα的值,再用誘導公式即可求之.
3. cosα==-.∴m=或m=-(舍去)答案:A
1.結(jié)合三角函數(shù)線知
α在第四象限. 答案:D
法2: sinα=-<0,cosα= >0,∴α終邊在第四象限.
6. 已知sinθ=,cosθ=,若θ是第二象限角,則實數(shù)a=______
簡答:1-3.DCA; 4. ; 5. ; 6. .
5. 已知sinβ=,sin(α+β)=1,則sin(2α+β)=_________.
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