抽象函數(shù)的性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：

①正比例函數(shù)

②；指數(shù)函數(shù)；

③；對(duì)數(shù)函數(shù)；

課本題

1．設(shè)集合，，則集合{且}=[1,3]。

定義域：{x|x}；值域：；　 奇偶性：奇函數(shù)；

單調(diào)性：是增函數(shù)；是減函數(shù)。

(1)一元一次函數(shù)：，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；

(2)一元二次函數(shù)：

一般式：；對(duì)稱軸方程是x=-；頂點(diǎn)為(-，)；

兩點(diǎn)式：；對(duì)稱軸方程是x=與軸交點(diǎn)(x，0)(x，0)；

頂點(diǎn)式：；對(duì)稱軸方程是x=k；頂點(diǎn)為(k，h)；

①一元二次函數(shù)的單調(diào)性：

當(dāng)時(shí)：(-)為增函數(shù)；(-)為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)：(-)為增函數(shù)；(-)為減函數(shù)；

②二次函數(shù)求最值問題：首先要采用配方法，化為的形式，

有三個(gè)類型題型：(1)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定。如：

(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)變動(dòng))，區(qū)間固定，這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何時(shí)在區(qū)間之外。(3)頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)，這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù)．③二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題： 設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為

(3)反比例函數(shù)：

(4)指數(shù)函數(shù)：

指數(shù)運(yùn)算法則：·；　 ； 。

指數(shù)函數(shù)：y=　 (a>o,a≠1)，圖象恒過點(diǎn)(0，1)，單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對(duì)a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖。

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)：

對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：;

；

對(duì)數(shù)函數(shù)：y=　 (a>o,a≠1) 圖象恒過點(diǎn)(1，0)，單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對(duì)a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖。

注意：

(1)與的圖象關(guān)系是關(guān)于y=x對(duì)稱；

(2)比較兩個(gè)指數(shù)或?qū)��?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)��?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時(shí)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)��?shù)，還要注意與1比較或與0比較。

(3)已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，求的取值范圍。(-2，2)

已知函數(shù)的值域?yàn)?sub>，求的取值范圍。

常見圖像變化規(guī)律：(注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來思考)

平移變換　y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：(ⅰ)有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y＝f(2x)經(jīng)過左移2個(gè)單位平移得到函數(shù)y＝f(2x+4)的圖象。

　(ⅱ)會(huì)結(jié)合向量的平移，理解按照向量(m，n)平移的意義。

對(duì)稱變換　y=f(x)→y=f(－x),關(guān)于y軸對(duì)稱

y=f(x)→y=－f(x) ,關(guān)于x軸對(duì)稱

y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對(duì)稱。

(注意：它是一個(gè)偶函數(shù))

伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。

一個(gè)重要結(jié)論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

單調(diào)性：定義：注意定義是相對(duì)與某個(gè)具體的區(qū)間而言。

判定方法有：定義法(作差比較和作商比較)

導(dǎo)數(shù)法(適用于多項(xiàng)式函數(shù))

復(fù)合函數(shù)法和圖像法。

應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。

奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù)；

f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函數(shù)。

判別方法：定義法，　圖像法　，復(fù)合函數(shù)法

應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。

周期性：定義：若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。

其他：若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.

應(yīng)用：求函數(shù)值和某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)解析式。

相同函數(shù)的判斷方法：①定義域相同；②對(duì)應(yīng)法則一樣 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

(1)函數(shù)解析式的求法：

①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數(shù)法：④賦值法：

(2)函數(shù)定義域的求法：

①，則g(x)；　 ②則f(x)；

③，則f(x)；　 ④如：，則；

⑤含參問題的定義域要分類討論；

⑥對(duì)于實(shí)際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時(shí)的定義域要根據(jù)實(shí)際意義來確定。如：已知扇形的周長(zhǎng)為20，半徑為，扇形面積為，則-r+10r；定義域?yàn)?u>(0，10)。

(3)函數(shù)值域的求法：

①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：的形式；

②逆求法(反求法)：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍；常用來解，型如：；

④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；

⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；

⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；

⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

求下列函數(shù)的值域：①(2種方法)；

②(2種方法)；③(2種方法)；

(1)映射的概念： (2)一一映射：(3)函數(shù)的概念：

如：若，；問：到的映射有3個(gè)，到的映射有4個(gè)；到的函數(shù)有81個(gè)，若，則到的一一映射有6個(gè)。

函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 0 或1個(gè)。

24.已知(a>0) ，則　　　　 .

25已知函數(shù)，．

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．

23.已知函數(shù)

(1)若a＞0,則的定義域是　　　　　 ;

(2) 若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　 .

22. 對(duì)于總有≥0 成立，則= 　　　．