4.已知二次函數(shù)滿足,則=-3!
3.設(shè)集合,,且,則實數(shù)。
2.若集合{且},則 2 。
抽象函數(shù)的性質(zhì)所對應的一些具體特殊函數(shù)模型:
①正比例函數(shù)
②;指數(shù)函數(shù);
③;對數(shù)函數(shù);
課本題
1.設(shè)集合,,則集合{且}=[1,3]。
定義域:{x|x};值域:; 奇偶性:奇函數(shù);
單調(diào)性:是增函數(shù);是減函數(shù)。
(1)一元一次函數(shù):,當時,是增函數(shù);當時,是減函數(shù);
(2)一元二次函數(shù):
一般式:;對稱軸方程是x=-;頂點為(-,);
兩點式:;對稱軸方程是x=與軸交點(x,0)(x,0);
頂點式:;對稱軸方程是x=k;頂點為(k,h);
①一元二次函數(shù)的單調(diào)性:
當時:(-)為增函數(shù);(-)為減函數(shù);
當時:(-)為增函數(shù);(-)為減函數(shù);
②二次函數(shù)求最值問題:首先要采用配方法,化為的形式,
有三個類型題型:(1)頂點固定,區(qū)間也固定。如:
(2)頂點含參數(shù)(即頂點變動),區(qū)間固定,這時要討論頂點橫坐標何時在區(qū)間之內(nèi),何時在區(qū)間之外。(3)頂點固定,區(qū)間變動,這時要討論區(qū)間中的參數(shù).③二次方程實數(shù)根的分布問題: 設(shè)實系數(shù)一元二次方程的兩根為
(3)反比例函數(shù):
(4)指數(shù)函數(shù):
指數(shù)運算法則:·; ; 。
指數(shù)函數(shù):y= (a>o,a≠1),圖象恒過點(0,1),單調(diào)性與a的值有關(guān),在解題中,往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論,要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。
(5)對數(shù)函數(shù):
對數(shù)運算法則:;
;
對數(shù)函數(shù):y= (a>o,a≠1) 圖象恒過點(1,0),單調(diào)性與a的值有關(guān),在解題中,往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論,要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。
注意:
(1)與的圖象關(guān)系是關(guān)于y=x對稱;
(2)比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù),若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù),還要注意與1比較或與0比較。
(3)已知函數(shù)的定義域為,求的取值范圍。(-2,2)
已知函數(shù)的值域為,求的取值范圍。
常見圖像變化規(guī)律:(注意平移變化能夠用向量的語言解釋,和按向量平移聯(lián)系起來思考)
平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意:(ⅰ)有系數(shù),要先提取系數(shù)。如:把函數(shù)y=f(2x)經(jīng)過左移2個單位平移得到函數(shù)y=f(2x+4)的圖象。
(ⅱ)會結(jié)合向量的平移,理解按照向量(m,n)平移的意義。
對稱變換 y=f(x)→y=f(-x),關(guān)于y軸對稱
y=f(x)→y=-f(x) ,關(guān)于x軸對稱
y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留,x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留,然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對稱。
(注意:它是一個偶函數(shù))
伸縮變換:y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。
一個重要結(jié)論:若f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱;
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性
單調(diào)性:定義:注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。
判定方法有:定義法(作差比較和作商比較)
導數(shù)法(適用于多項式函數(shù))
復合函數(shù)法和圖像法。
應用:比較大小,證明不等式,解不等式。
奇偶性:定義:注意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱,比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù);
f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)為奇函數(shù)。
判別方法:定義法, 圖像法 ,復合函數(shù)法
應用:把函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化求解。
周期性:定義:若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足:f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。
其他:若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足:f(x+a)=f(x-a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.
應用:求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。
相同函數(shù)的判斷方法:①定義域相同;②對應法則一樣 (兩點必須同時具備)
(1)函數(shù)解析式的求法:
①定義法(拼湊):②換元法:③待定系數(shù)法:④賦值法:
(2)函數(shù)定義域的求法:
①,則g(x); ②則f(x);
③,則f(x); ④如:,則;
⑤含參問題的定義域要分類討論;
⑥對于實際問題,在求出函數(shù)解析式后;必須求出其定義域,此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定。如:已知扇形的周長為20,半徑為,扇形面積為,則-r+10r;定義域為(0,10)。
(3)函數(shù)值域的求法:
①配方法:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),利用二次函數(shù)的特征來求值;常轉(zhuǎn)化為型如:的形式;
②逆求法(反求法):通過反解,用來表示,再由的取值范圍,通過解不等式,得出的取值范圍;常用來解,型如:;
④換元法:通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù),化歸思想;
⑤三角有界法:轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù),運用三角函數(shù)有界性來求值域;
⑥基本不等式法:轉(zhuǎn)化成型如:,利用平均值不等式公式來求值域;
⑦單調(diào)性法:函數(shù)為單調(diào)函數(shù),可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。
⑧數(shù)形結(jié)合:根據(jù)函數(shù)的幾何圖形,利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。
求下列函數(shù)的值域:①(2種方法);
②(2種方法);③(2種方法);
(1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函數(shù)的概念:
如:若,;問:到的映射有3個,到的映射有4個;到的函數(shù)有81個,若,則到的一一映射有6個。
函數(shù)的圖象與直線交點的個數(shù)為 0 或1個。
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