Question

一個兩位數(shù)N，在它的左邊添上適當(dāng)?shù)膬蓚�數(shù)碼變成四位數(shù)時恰是原數(shù)N的平方，試求所有這樣的兩位數(shù)．

Answer 1

考點：完全平方數(shù)性質(zhì)

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：此題可以設(shè)添上的兩個數(shù)碼為 a，b，記k=．按題意有k×100+N=N²，即 N（N-1）=2²5²k．欲使N²是一個四位數(shù)，必須N≥32．又N與N-1互素，所以由2²5²|N（N-1）可得：或者2²|N，5²|（N-1）；或者5²|N，2²|（N-1）．然后針對這兩種情況進行討論解決．

解答： 解：設(shè)添上的兩個數(shù)碼為 a，b，記k=．按題意有k×100+N=N²，即 N（N-1）=2²5²k．欲使N²是一個四位數(shù)，必須N≥32．又N與N-1互素，所以由2²5²|N（N-1）可得：或者2²|N，5²|（N-1）；或者5²|N，2²|（N-1）．
當(dāng)5²|N，2²|（N-1）時，N必為奇數(shù)．這就是說N必是大于32且為5²=25的倍數(shù)的奇兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)N可能取的值只有75，但此時，2²74，所以，此時無解．
同理，當(dāng)2²|N，5²|（N-1）時，這時N-1可能取的值只有75，此時2²|76，所以N=76．
這就解得只有76這一個兩位數(shù)滿足所說性質(zhì)：5776=76²．

點評：此題通過設(shè)添上的兩個數(shù)碼為 a，b，列出關(guān)系式，得出兩種情況，通過討論，解決問題．