Question

將棋子放入方陣中，每方格內(nèi)只能放一顆，且位于方格中心，如果在4×4的方陣?yán)锓湃?顆棋子，就能形成3個(gè)正方形，它們有大有小，有正有斜（如圖一），那么在4×4的方陣?yán)�，如果�?6顆棋子全部放滿的話總共能形成多少個(gè)正方形（如圖二）．
在2×2的方陣中如果放入3顆棋子，不會(huì)形成任何正方形（圖三），那么在3×3的方陣?yán)铮▓D四）至多可以放入幾顆棋子而不會(huì)形成任何正方形？請(qǐng)?jiān)趫D四中畫出表示棋子的點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：圖形劃分

專題：壓軸題,圖形與位置

分析：（1）把正方形分成兩大類．一類是邊與格線呈水平和垂直狀態(tài)的，我們姑且稱為直正方形；另一類是邊與格線不水平、不垂直的，稱為斜正方形．先看直正方形，再按邊長(zhǎng)的長(zhǎng)短，分為邊長(zhǎng)分別是1、2、3的三種．下面開始數(shù)數(shù)：邊長(zhǎng)為1的直正方形有9個(gè)（下圖1中的藍(lán)色正方形）；
　　邊長(zhǎng)為2的直正方形有4個(gè)（下圖2中的正方形，為便于觀察，使用了不同的顏色）；
　　邊長(zhǎng)為3的直正方形有1個(gè)（下圖3中的紅色正方形）．

再看斜正方形，這就是上面說到的圖一中提示的兩種．我們把這兩種分別稱為小斜正方形和大斜正方形．
　　小斜正方形有4個(gè)；（下圖1中的正方形，為便于觀察，使用了不同的顏色）；
　　大斜正方形有2個(gè)．（下圖2中的正方形，為便于觀察，使用了不同的顏色）．

所以16顆棋子全部放滿后，所能形成的正方形的個(gè)數(shù)為：
　　9+4+1+4+2=20 個(gè)．
（2）在3×3的方陣?yán)锕部煞派?顆棋子，我們首先根據(jù)所處位置給棋子分一下類：處于角上的叫“角子”，邊的中間的叫“邊子”，中心的一顆叫“心子”．9個(gè)格子里可以放9顆棋子：4顆角子，4顆邊子，1顆心子．4顆角子構(gòu)成1個(gè)大正方形，4顆邊子構(gòu)成1個(gè)中正方形，4 個(gè)小正方形分別是由心子和1顆角子、2顆邊子構(gòu)成的．要想使大正方形不能構(gòu)成，最多只能放入3顆角子；要想使中正方形不能構(gòu)成，最多只能放入3顆邊子．或者說，必須從擺滿9顆棋子的方陣中拿掉一顆角子、一顆邊子．這時(shí)，有兩種情況，一種是所去掉的兩顆棋子相鄰，一種是所去掉的兩顆棋子不相鄰，分別如下圖（1）、（2）：

解答： 解：（1）A、先看直正方形，再按邊長(zhǎng)的長(zhǎng)短，分為邊長(zhǎng)分別是1、2、3的三種：
邊長(zhǎng)為1的直正方形有9個(gè)；
邊長(zhǎng)為2的直正方形有4個(gè)；
邊長(zhǎng)為3的直正方形有1個(gè)；
B、看斜正方形，分別稱為小斜正方形和大斜正方形：
小斜正方形有4個(gè)；
大斜正方形有2個(gè)；
所以16顆棋子全部放滿后，所能形成的正方形的個(gè)數(shù)為：9+4+1+4+2=20（個(gè)）；
答：如果把16顆棋子全部放滿的話總共能形成20個(gè)正方形；
（2）9個(gè)格子里可以放9顆棋子：4顆角子，4顆邊子，1顆心子．4顆角子構(gòu)成1個(gè)大正方形，4顆邊子構(gòu)成1個(gè)中正方形，4 個(gè)小正方形分別是由心子和1顆角子、2顆邊子構(gòu)成的．要想使大正方形不能構(gòu)成，最多只能放入3顆角子；要想使中正方形不能構(gòu)成，最多只能放入3顆邊子．或者說，必須從擺滿9顆棋子的方陣中拿掉一顆角子、一顆邊子．這時(shí)，有兩種情況，一種是所去掉的兩顆棋子相鄰，一種是所去掉的兩顆棋子不相鄰，分別如下圖（1）、（2）：

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)圖形的辨識(shí)、分類的思想以及空間想象能力．解答（1）題時(shí)讀好題、審好題，分好類，一個(gè)一個(gè)地去數(shù)就行．（2）注意此題還有其它擺法．