Question

10．已知函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）-1，x∈R，求：
（1）函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)自變量x的取值集合；
（2）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）-1的圖象？
（3）若x在[0，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意可得當(dāng)$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-4，可得此時(shí)x的取值集合；
（2）由函數(shù)圖象變換的規(guī)律可得；
（3）由x∈[0，$\frac{π}{3}$]和三角函數(shù)的最值以及和差角的三角函數(shù)可得．

解答 解：（1）由題意可得當(dāng)$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$即x=4kπ-$\frac{3π}{2}$（k∈Z）時(shí)，
函數(shù)f（x）取最小值-3-1=-4，此時(shí)自變量x的取值集合為{x|x=4kπ-$\frac{3π}{2}$，k∈Z}；
（2）函數(shù)y=sinx的圖象先縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍可得y=3sinx的圖象，
再向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位得到y(tǒng)=3sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象，
再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍可得y=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）的圖象，
然后向下平移1個(gè)單位得到函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）-1的圖象；
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin$\frac{5π}{12}$]，
∴3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）-1∈[$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，3sin$\frac{5π}{12}$-1]，
由和差角三角函數(shù)公式可得sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
故f（x）的值域?yàn)閇$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，$\frac{3\sqrt{2}+3\sqrt{6}}{4}$-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值和圖象變換，涉及和差角的三角函數(shù)公式，屬中檔題．