Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，
①設(shè)拋物線對(duì)稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E，連接PE，交CD于F，求出當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②是否存在一點(diǎn)P，使△PCD的面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= =3，

∴OB=3OA=3．

∵△DOC是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC=OB=3，OD=OA=1，

∴A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，3）（﹣3，0）．

代入解析式為

，

解得： ．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：①∵拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，

∴對(duì)稱軸l=﹣ =﹣1，

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

如圖，

當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，△CEF∽△COD．此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，P（﹣1，4）；

當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，△CFE∽△COD，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則△EFC∽△EMP．

∴ ，

∴MP=3EM．

∵P的橫坐標(biāo)為t，

∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．

∵P在第二象限，

∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，

∴﹣t2﹣2t+3=﹣（t﹣1）（t+3），

解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因?yàn)镻與C重合，所以舍去），

∴t=﹣2時(shí)，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．

∴P（﹣2，3）．

∴當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，4）或（﹣2，3）；

②設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得： ，

∴直線CD的解析式為：y= x+1．

設(shè)PM與CD的交點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t， t+1），

∴NM= t+1．

∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣（ t+1）=﹣t2﹣ +2．

∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，

∴S△PCD= PNCM+ PNOM

= PN（CM+OM）

= PNOC

= ×3（﹣t2﹣ +2）

=﹣ （t+ ）2+ ，

∴當(dāng)t=﹣ 時(shí)，S△PCD的最大值為 ．

【解析】（1）先求出A、B、C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法就可以直接求出二次函數(shù)的解析式；（2）①拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，故可以求出拋物線的對(duì)稱軸，分類討論當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，△CEF∽△COD．此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，△CFE∽△COD，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則△EFC∽△EMP．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；②設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，由待定系數(shù)法即可求出解析式，設(shè)PM與CD的交點(diǎn)為N，根據(jù)CD的解析式表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)S△PCD=S△PCN+S△PDN，就可以表示出△PCD的面積，利用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．