Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合)，如圖2，線段CF，BD所在直線位置關(guān)系為 ，數(shù)量關(guān)系為 .

（2）如果AB=AC，∠BAC=90，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖3，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由。

（3）如果AB=AC,∠BAC是鈍角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ABC滿足什么條件時(shí),CF⊥BC(點(diǎn)C、F不重合)畫出圖形,并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）CF與BD位置關(guān)系是垂直，數(shù)量關(guān)系是相等（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立 （3）當(dāng)∠ACB=45時(shí)

【解析】分析: （1）①證明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD與CF相等且垂直；

②①的結(jié)論仍成立，同理證明△DAB≌△FAC，可得結(jié)論：垂直且相等；

（2）當(dāng)∠ACB滿足45°時(shí)，CF⊥BC；如圖4，作輔助線，證明△QAD≌△CAF，即可得出結(jié)論.

詳解:

（1）CF與BD位置關(guān)系是垂直，數(shù)量關(guān)系是相等

（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立

由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°

∵∠BAC=90v，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD

∠ACF=∠ABD

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠ABC=45°

∴∠ACF=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°

即CF⊥BD.

（3）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，CF⊥BD，理由：

過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G

∴AC=AG

可證得：△GAD≌△CAF

∴∠ACF=∠AGD=45°

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°

即CF⊥BD.

點(diǎn)睛: 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定，本題的三個(gè)結(jié)論都是證明三角形全等得出，所以利用SAS證明三角形全等是本題的關(guān)鍵；第（2）問，恰當(dāng)?shù)刈鬏o助線，構(gòu)建等腰直角三角形，同樣也是構(gòu)建兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.