【題目】如圖1,直線y= x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,﹣1),拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4.

(1)請直接寫出拋物線的解析式;
(2)如圖2,點(diǎn)D在拋物線上,DE∥y軸交直線AB于點(diǎn)E,且四邊形DFEG為矩形,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x(0<x<4),矩形DFEG的周長為l,求l與x的函數(shù)關(guān)系式以及l(fā)的最大值;

(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1 , 點(diǎn)A、O、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1 . 若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請直接寫出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵直線l:y= x+m經(jīng)過點(diǎn)B(0,﹣1),

∴m=﹣1,

∴直線l的解析式為y= x﹣1,

∵直線l:y= x﹣1經(jīng)過點(diǎn)C,且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,

∴y= ×4﹣1=2,

∵拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(4,2)和點(diǎn)B(0,﹣1),

解得 ,

∴拋物線的解析式為y= x2 x﹣1;


(2)

解:令y=0,則 x﹣1=0,

解得:x=

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為( ,0),

∴OA= ,

在Rt△OAB中,OB=1,

∴AB= = = ,

∵DE∥y軸,

∴∠ABO=∠DEF,

在矩形DFEG中,EF=DEcos∠DEF=DE = DE,

DF=DEsin∠DEF=DE = DE,

∴l(xiāng)=2(DF+EF)=2( + )DE= DE,

∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),

∴D(t, t2 t﹣1),E(t, t﹣1),

∴DE=( t﹣1)﹣( t2 t﹣1)=﹣ t2+2t,

∴l(xiāng)= ×(﹣ t2+2t)=﹣ t2+ t,

∵l=﹣ (t﹣2)2+ ,且﹣ <0,

∴當(dāng)t=2時(shí),l有最大值


(3)

解:“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)有4個(gè),如圖1,圖2,圖3,圖4所示.

如圖3中,設(shè)A1的橫坐標(biāo)為m,則O1的橫坐標(biāo)為m+ ,

m2 m﹣1= (m+ 2 (m+ )﹣1,

解得:m=

如圖4中,設(shè)A1的橫坐標(biāo)為m,則B1的橫坐標(biāo)為m+ ,B1的縱坐標(biāo)比例A1的縱坐標(biāo)大1,

m2 m﹣1+1= (m+ 2 (m+ )﹣1,

解得:m= ,

∴旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為


【解析】(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線解析式求出m的值,再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線求解即可得到C點(diǎn)縱坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;(2)令y=0求出點(diǎn)A的坐標(biāo),從而得到OA、OB的長度,利用勾股定理列式求出AB的長,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABO=∠DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根據(jù)矩形的周長公式表示出l,利用直線和拋物線的解析式表示DE的長,整理即可得到l與t的關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的最值問題解答;(3)根據(jù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角為90°可得A1O1∥y軸時(shí),B1O1∥x軸,旋轉(zhuǎn)角是180°判斷出A1O1∥x軸時(shí),B1A1∥AB,根據(jù)圖3、圖4兩種情形即可解決.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時(shí),y最值=(4ac-b2)/4a;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=ax+b的圖象交于點(diǎn)A(﹣2,3)和點(diǎn)B(m,﹣2).

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)直線x=1上有一點(diǎn)P,反比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn)Q,若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AB為邊的平行四邊形,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且BD=CE,AD,BE相交于點(diǎn)F.
(1)求證:AD=BE;
(2)求∠AFE的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在一個(gè)不透明的袋子里裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黃球,它們除顏色外都相同,隨機(jī)從中摸出一球,記下顏色后放回袋中,充分搖勻后,再隨機(jī)摸出一球,兩次都摸到黃球的概率是(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC于點(diǎn)D,E.連接ED,若ED=EC.

(1)求證:AB=AC;
(2)填空:①若AB=6,CD=4,則BC=;
②連接OD,當(dāng)∠A的度數(shù)為時(shí),四邊形ODEB是菱形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,將頂點(diǎn)為P(1,﹣2),且過原點(diǎn)的拋物線y的一部分沿x軸翻折并向右平移2個(gè)單位長度,得到拋物線y1 , 其頂點(diǎn)為P1 , 然后將拋物線y1沿x軸翻折并向右平移2個(gè)單位長度,得到拋物線y2 , 其頂點(diǎn)為P2;…,如此進(jìn)行下去,直至得到拋物線y2016 , 則點(diǎn)P2016坐標(biāo)為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2+ 與y軸相交于點(diǎn)A,點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱

(1)填空:點(diǎn)B的坐標(biāo)是;
(2)過點(diǎn)B的直線y=kx+b(其中k<0)與x軸相交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線l平行于y軸,P是直線l上一點(diǎn),且PB=PC,求線段PB的長(用含k的式子表示),并判斷點(diǎn)P是否在拋物線上,說明理由;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對稱點(diǎn)C′恰好落在該拋物線的對稱軸上,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn),CE=5,F(xiàn)為DE的中點(diǎn).若△CEF的周長為18,則OF的長為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+2ax﹣3a(a>0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).
(1)求拋物線的對稱軸及線段AB的長;
(2)拋物線的頂點(diǎn)為P,若∠APB=120°,求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及a的值;
(3)若在拋物線上存在一點(diǎn)N,使得∠ANB=90°,結(jié)合圖象,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案