【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+ 與y軸相交于點A,點B與點O關(guān)于點A對稱
(1)填空:點B的坐標是;
(2)過點B的直線y=kx+b(其中k<0)與x軸相交于點C,過點C作直線l平行于y軸,P是直線l上一點,且PB=PC,求線段PB的長(用含k的式子表示),并判斷點P是否在拋物線上,說明理由;
(3)在(2)的條件下,若點C關(guān)于直線BP的對稱點C′恰好落在該拋物線的對稱軸上,求此時點P的坐標.
【答案】
(1)(0, )
(2)
解:∵B點坐標為(0, ),
∴直線解析式為y=kx+ ,令y=0可得kx+ =0,解得x=﹣ ,
∴OC=﹣ ,
∵PB=PC,
∴點P只能在x軸上方,
如圖1,過B作BD⊥l于點D,設(shè)PB=PC=m,
則BD=OC=﹣ ,CD=OB= ,
∴PD=PC﹣CD=m﹣ ,
在Rt△PBD中,由勾股定理可得PB2=PD2+BD2,
即m2=(m﹣ )2+(﹣ )2,解得m= + ,
∴PC= + ,
∴P點坐標為(﹣ , + ),
當x=﹣ 時,代入拋物線解析式可得y= + ,
∴點P在拋物線上;
(3)
解:如圖2,連接CC′,
∵l∥y軸,
∴∠OBC=∠PCB,
又PB=PC,
∴∠PCB=∠PBC,
∴∠PBC=∠OBC,
又C、C′關(guān)于BP對稱,且C′在拋物線的對稱軸上,即在y軸上,
∴∠PBC=∠PBC′,
∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°,
在Rt△OBC中,OB= ,則BC=1
∴OC= ,即P點的橫坐標為 ,代入拋物線解析式可得y=( )2+ =1,
∴P點坐標為( ,1).
【解析】解:(1)∵拋物線y=x2+ 與y軸相交于點A,
∴A(0, ),
∵點B與點O關(guān)于點A對稱,
∴BA=OA= ,
∴OB= ,即B點坐標為(0, ),
故答案為:(0, );
(1)由拋物線解析式可求得A點坐標,再利用對稱可求得B點坐標;(2)可先用k表示出C點坐標,過B作BD⊥l于點D,條件可知P點在x軸上方,設(shè)P點縱坐標為y,可表示出PD、PB的長,在Rt△PBD中,利用勾股定理可求得y,則可求出PB的長,此時可得出P點坐標,代入拋物線解析式可判斷P點在拋物線上;(3)利用平行線和軸對稱的性質(zhì)可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°,則可求得OC的長,代入拋物線解析式可求得P點坐標.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=70°,AB的垂直平分線交對角線AC于點F,垂足為E,連接DF,則∠CDF等于( )
A.55°
B.65°
C.75°
D.85°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】初三年級教師對試卷講評課中學生參與的深度與廣度進行評價調(diào)查,其評價項目為主動質(zhì)疑、獨立思考、專注聽講、講解題目四項.評價組隨機抽取了若干名初中學生的參與情況,繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖(均不完整),請根據(jù)圖中所給信息解答下列問題:
(1)在這次評價中,一共抽查了名學生;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,項目“主動質(zhì)疑”所在的扇形的圓心角的度數(shù)為度;
(3)請將頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(4)如果全市有6000名初三學生,那么在試卷評講課中,“獨立思考”的初三學生約有多少人?
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【題目】如圖1,直線y= x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,﹣1),拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點B,點C的橫坐標為4.
(1)請直接寫出拋物線的解析式;
(2)如圖2,點D在拋物線上,DE∥y軸交直線AB于點E,且四邊形DFEG為矩形,設(shè)點D的橫坐標為x(0<x<4),矩形DFEG的周長為l,求l與x的函數(shù)關(guān)系式以及l(fā)的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1 , 點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1 . 若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“落點”,請直接寫出“落點”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點A1的橫坐標.
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【題目】已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,將△ABE沿BC方向平移,使點E與點C重合,得△GFC.
(1)求證:BE=DG;
(2)若∠B=60°,當AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時,四邊形ABFG是菱形?證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,E是AD上的一點,且AE= AD,對角線AC,BD交于點O,EC交BD于F,BE交AC于G,如果平行四邊形ABCD的面積為S,那么,△GEF的面積為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3,BC=2,AD為中線.
(1)比較∠BAD和∠DAC的大。
(2)求sin∠BAD.
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【題目】如圖,直線y=﹣x﹣2交x軸于點A,交y軸于點B,拋物線y=ax2+bx+c的頂點為A,且經(jīng)過點B.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點C(m,﹣ )在拋物線上,求m的值.
(3)根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值時x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線AB經(jīng)過⊙O上的點C,且OA=OB,CA=CB,OA交⊙O于點E.
(1)證明:直線AB與⊙O相切;
(2)若AE=a,AB=b,求⊙O的半徑;(結(jié)果用a,b表示)
(3)過點C作弦CD⊥OA于點H,試探究⊙O的直徑與OH、OB之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
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