Question

17．問題提出：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP、BP，求AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，則有$\frac{CD}{CP}$=$\frac{CP}{CB}$=$\frac{1}{2}$，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴$\frac{PD}{BP}$=$\frac{1}{2}$，∴PD=$\frac{1}{2}$BP，∴AP+$\frac{1}{2}$BP=AP+PD．
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值為$\sqrt{37}$．
（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，$\frac{1}{3}$AP+BP的最小值為$\frac{2}{3}\sqrt{37}$．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點(diǎn)P是$\widehat{CD}$上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理即可求出，最小值為AD=$\sqrt{37}$；
（2）連接CP，在CA上取點(diǎn)D，使CD=$\frac{2}{3}$，則有$\frac{CD}{CP}=\frac{CP}{CA}=\frac{1}{3}$，可證△PCD∽△ACP，得到PD=$\frac{1}{3}$AP，即：$\frac{1}{3}$AP+BP=BP+PD，從而$\frac{1}{3}$AP+BP的最小值為BD；
（3）延長OA到點(diǎn)E，使CE=6，連接PE、OP，可證△OAP∽△OPE，得到EP=2PA，得到2PA+PB=EP+PB，當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，得到最小值．

解答 解：（1）如圖1，

連結(jié)AD，
∵AP+$\frac{1}{2}$BP=AP+PD，要使AP+$\frac{1}{2}$BP最小，
∴AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+AD最小，
即：AP+$\frac{1}{2}$BP最小值為AD，
在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值為$\sqrt{37}$，故答案為：$\sqrt{37}$；

（2）如圖2，

連接CP，在CA上取點(diǎn)D，使CD=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{CD}{CP}=\frac{CP}{CA}=\frac{1}{3}$，
∵∠PCD=∠ACP，
∴△PCD∽△ACP，
∴$\frac{PD}{AP}=\frac{1}{3}$，
∴PD=$\frac{1}{3}$AP，
∴$\frac{1}{3}$AP+BP=BP+PD，
∴同（1）的方法得出$\frac{1}{3}$AP+BP的最小值為BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{37}$．
故答案為：$\frac{2}{3}\sqrt{37}$；

（3）如圖3，

延長OA到點(diǎn)E，使CE=6，
∴OE=OC+CE=12，
連接PE、OP，
∵OA=3，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OE}=\frac{1}{2}$，
∵∠AOP=∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴$\frac{AP}{EP}=\frac{1}{2}$，
∴EP=2PA，
∴2PA+PB=EP+PB，
∴當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為：BE=$\sqrt{O{B}^{2}+O{E}^{2}}$=13．

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，極值的確定，還考查了學(xué)校的閱讀理解能力，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)材料中的思路構(gòu)造出△PCD∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本題的難點(diǎn)．