【題目】已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個(gè)公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.
(Ⅰ)求拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);
(Ⅱ)說明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn);
(Ⅲ)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為N.
(。┤舂1≤a≤﹣ ,求線段MN長度的取值范圍;
(ⅱ)求△QMN面積的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)∵拋物線y=ax2+ax+b過點(diǎn)M(1,0),
∴a+a+b=0,即b=﹣2a,
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a(x+ 2 ,
∴拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣ ,﹣ );
(Ⅱ)∵直線y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)M(1,0),
∴0=2×1+m,解得m=﹣2,
聯(lián)立直線與拋物線解析式,消去y可得ax2+(a﹣2)x﹣2a+2=0(*)
∴△=(a﹣2)2﹣4a(﹣2a+2)=9a2﹣12a+4,
由(Ⅰ)知b=﹣2a,且a<b,
∴a<0,b>0,
∴△>0,
∴方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn);
(Ⅲ)聯(lián)立直線與拋物線解析式,消去y可得ax2+(a﹣2)x﹣2a+2=0,即x2+(1﹣ )x﹣2+ =0,
∴(x﹣1)[x﹣( ﹣2)]=0,解得x=1或x= ﹣2,
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為( ﹣2, ﹣6),
(i)由勾股定理可得MN2=[( ﹣2)﹣1]2+( ﹣6)2= +45=20( 2
∵﹣1≤a≤﹣ ,
∴﹣2≤ ≤﹣1,
∴MN2 的增大而減小,
∴當(dāng) =﹣2時(shí),MN2有最大值245,則MN有最大值7 ,
當(dāng) =﹣1時(shí),MN2有最小值125,則MN有最小值5 ,
∴線段MN長度的取值范圍為5 ≤MN≤7
(ii)如圖,設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線與點(diǎn)E,

∵拋物線對(duì)稱軸為x=﹣ ,
∴E(﹣ ,﹣3),
∵M(jìn)(1,0),N( ﹣2, ﹣6),且a<0,設(shè)△QMN的面積為S,
∴S=SQEN+SQEM= |( ﹣2)﹣1||﹣ ﹣(﹣3)|=
∴27a2+(8S﹣54)a+24=0(*),
∵關(guān)于a的方程(*)有實(shí)數(shù)根,
∴△=(8S﹣54)2﹣4×27×24≥0,即(8S﹣54)2≥(36 2
∵a<0,
∴S= ,
∴8S﹣54>0,
∴8S﹣54≥36 ,即S≥ + ,
當(dāng)S= + 時(shí),由方程(*)可得a=﹣ 滿足題意,
∴當(dāng)a=﹣ ,b= 時(shí),△QMN面積的最小值為 +
【解析】(Ⅰ)把M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到b與a的關(guān)系,可用a表示出拋物線解析式,化為頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo);(Ⅱ)由直線解析式可先求得m的值,聯(lián)立直線與拋物線解析式,消去y,可得到關(guān)于x的一元二次方程,再判斷其判別式大于0即可;(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)的方程,可求得N點(diǎn)坐標(biāo),利用勾股定理可求得MN2 , 利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得MN長度的取值范圍;(ii)設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線與點(diǎn)E,則可求得E點(diǎn)坐標(biāo),利用SQMN=SQEN+SQEM可用a表示出△QMN的面積,再整理成關(guān)于a的一元二次方程,利用判別式可得其面積的取值范圍,可求得答案.

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