Question

【題目】(2016·畢節(jié)中考)如圖，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F.

(1)求證：△AEC≌△ADB；

(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】試題分析: （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到兩對邊相等，一對角相等，利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可；

（2）根據(jù)∠BAC=45°，四邊形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，求出BD的長，由BD-DF求出BF的長即可．

試題解析:

(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ABC≌△ADE，且AB＝AC，

∴AE＝AD＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，

即∠CAE＝∠BAD.

在△AEC和△ADB中，

∵AE＝AD，∠CAE＝∠BAD，AC＝AB，

∴△AEC≌△ADB(SAS)；

(2)∵四邊形ADFC是菱形，

∴DF＝AC＝AB＝2，AC∥DF.

又∵∠BAC＝45°，

∴∠DBA＝∠BAC＝45°.

由(1)可知AB＝AD，

∴∠DBA＝∠BDA＝45°，

∴△ABD為直角邊長為2的等腰直角三角形，

∴BD2＝2AB2，

即BD＝2，

∴BF＝BD－DF＝2－2.

點(diǎn)睛: 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．