【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1,圖2,圖3中,AF,BE是△ABC的中線,AF⊥BE,垂足為P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
特例探索
(1)如圖1,當(dāng)∠ABE=45°,c=時(shí),a= ,b= ;
如圖2,當(dāng)∠ABE=30°,c=4時(shí),a= ,b= ;
歸納證明
(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a2,b2,c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,請(qǐng)利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式;
拓展應(yīng)用
(3)如圖4,在□ABCD中,點(diǎn)E,F,G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn),BE⊥EG,AD=,AB=3.求AF的長.
【答案】(1)2,2;2,2;(2)+=5;(3)AF=4.
【解析】
試題(1)∵AF⊥BE,∠ABE=45°,∴AP=BP=AB=2,∵AF,BE是△ABC的中線,∴EF∥AB,EF=AB=,∴∠PFE=∠PEF=45°,∴PE=PF=1,在Rt△FPB和Rt△PEA中,AE=BF==,∴AC=BC=2,∴a=b=2,如圖2,連接EF,同理可得:EF=×4=2,∵EF∥AB,∴△PEF~△ABP,∴,在Rt△ABP中,AB=4,∠ABP=30°,∴AP=2,PB=2,∴PF=1,PE=,在Rt△APE和Rt△BPF中,AE=,BF=,∴a=2,b=2,故答案為:2,2,2,2;
(2)猜想:a2+b2=5c2,如圖3,連接EF,設(shè)∠ABP=α,∴AP=csinα,PB=ccosα,由(1)同理可得,PF=PA=,PE==,AE2=AP2+PE2=c2sin2α+,BF2=PB2+PF2=+c2cos2α,∴=c2sin2α+,=+c2cos2α,∴+=+c2cos2α+c2sin2α+,∴a2+b2=5c2;
(3)如圖4,連接AC,EF交于H,AC與BE交于點(diǎn)Q,設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P,∵點(diǎn)E、G分別是AD,CD的中點(diǎn),∴EG∥AC,∵BE⊥EG,∴BE⊥AC,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC=2,∴∠EAH=∠FCH,∵E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),∴AE=AD,BF=BC,∴AE=BF=CF=AD=,∵AE∥BF,∴四邊形ABFE是平行四邊形,∴EF=AB=3,AP=PF,在△AEH和△CFH中,,∴△AEH≌△CFH,∴EH=FH,∴EQ,AH分別是△AFE的中線,由(2)的結(jié)論得:AF2+EF2=5AE2,∴AF2=5﹣EF2=16,∴AF=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】電子跳蚤游戲盤是如圖所示的△ABC,AB=AC=BC=5.如果跳蚤開始時(shí)在BC邊的P0處,BP0=2.跳蚤第一步從P0跳到AC邊的P1(第1次落點(diǎn))處,且CP1= CP0;第二步從P1跳到AB邊的P2(第2次落點(diǎn))處,且AP2= AP1;第三步從P2跳到BC邊的P3(第3次落點(diǎn))處,且BP3= BP2;…;跳蚤按照上述規(guī)則一直跳下去,第n次落點(diǎn)為Pn(n為正整數(shù)),則點(diǎn)P2016與點(diǎn)P2017之間的距離為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O,點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合.若∠CEF=50°,則∠AOF的度數(shù)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,直線y=﹣2x+b與反比例函數(shù)y=交于點(diǎn)A、B,與x軸交于點(diǎn)C.
(1)若A(﹣3,m)、B(1,n).直接寫出不等式﹣2x+b>的解.
(2)求sin∠OCB的值.
(3)若CB﹣CA=5,求直線AB的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在△ABC中,∠A=∠ABC,直線EF分別交△ABC的邊AB,AC和CB的延長線于點(diǎn)D,E,F.
(1)求證:∠F+∠FEC=2∠A;
(2)過B點(diǎn)作BM∥AC交FD于點(diǎn)M,試探究∠MBC與∠F+∠FEC的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn).點(diǎn)E在CD上,且DE=2CE,連接BE.過點(diǎn)C作CF⊥BE,垂足是F,連接OF,則OF的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)(0,4),C的坐標(biāo)為(8,0),把矩形折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,折痕為DE.
求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
(2)點(diǎn)M為OC的中點(diǎn),點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),作直線EP,分別過點(diǎn)O、C作直線EP的垂線,垂足分別為點(diǎn)F、G.求證:MF=MG
(3)在(2)的條件下,當(dāng)△FMG為等腰直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出此時(shí)直線EP的表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某景區(qū)的兩個(gè)景點(diǎn)A、B處于同一水平地面上、一架無人機(jī)在空中沿MN方向水平飛行進(jìn)行航拍作業(yè),MN與AB在同一鉛直平面內(nèi),當(dāng)無人機(jī)飛行至C處時(shí)、測得景點(diǎn)A的俯角為45°,景點(diǎn)B的俯角為30°,此時(shí)C到地面的距離CD為100米,則兩景點(diǎn)A、B間的距離為__米(結(jié)果保留根號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“全民讀書月”活動(dòng)中,小明調(diào)查了班級(jí)里40名同學(xué)本學(xué)期計(jì)劃購買課外書的花費(fèi)情況,并將結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:(直接填寫結(jié)果)
(1)本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 ;
(2)這次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 ;
(3)若該校共有學(xué)生1000人,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)本學(xué)期計(jì)劃購買課外書花費(fèi)50元的學(xué)生有 人.
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