Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3 的圖象與x軸分別交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C

（1）求此二次函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，試判斷△BCD的形狀，并說明理由；

（3）將直線BC向上平移t(t>0)個(gè)單位，平移后的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在y軸的右側(cè)），當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△BCD為直角三角形，理由見解析；（3）當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，t的值為1或4．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；

（2）利用配方法及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出CD、BD、BC的長，由勾股定理的逆定理可證出△BCD為直角三角形；

（3）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，進(jìn)而可找出平移后直線的解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組可找出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分別令三個(gè)角為直角，利用勾股定理可得出關(guān)于t的無理方程，解之即可得出結(jié)論．

（1）將、代入，得：

，解得：，

此二次函數(shù)解析式為．

（2）為直角三角形，理由如下：

，

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

，

．

，

，

為直角三角形．

（3）設(shè)直線的解析式為，

將，代入，得：

，解得：，

直線的解析式為，

將直線向上平移個(gè)單位得到的直線的解析式為．

聯(lián)立新直線與拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，．

為直角三角形，

分三種情況考慮：

①當(dāng)時(shí)，有，即，

整理，得：，

解得：，（不合題意，舍去）；

②當(dāng)時(shí)，有，即，

整理，得：，

解得：，（不合題意，舍去）；

③當(dāng)時(shí)，有，即，

整理，得：．

，

該方程無解（或解均為增解）．

綜上所述：當(dāng)為直角三角形時(shí)，的值為1或4．