【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB90°,點DAB上,以AD為直徑的⊙O與邊BC相切于點E,與邊AC相交于點G,且,連接GO并延長交⊙O于點F,連接BF

1)求證:①AOAG,②BF是⊙O的切線.

2)若BD6,求圖形中陰影部分的面積.

【答案】1)①見解析;②見解析;(2S陰影

【解析】

1)①先利用切線的性質(zhì)判斷出∠ACB=∠OEB,再用平行線結(jié)合弧相等判斷出∠AOG=∠AGO,即可得出結(jié)論;

②先判斷出△AOG是等邊三角形,進而得出∠BOF=∠AOG60°,進而判斷出∠EOB60°,得出△OFB≌△OEB,得出∠OFB90°,即可得出結(jié)論;

2)先判斷出∠ABC30°,進而得出OB2BE,建立方程6+r2r,繼而求出AG6,AB18,AC9,CG3,再判斷出△OGE是等邊三角形,得出GEOE6,進而利用根據(jù)勾股定理求出CE3,即可得出結(jié)論.

解:(1)證明:①如圖1,連接OE

∵⊙OBC相切于點E,

∴∠OEB90°,

∵∠ACB90°,

∴∠ACB=∠OEB,

ACOE,

∴∠GOE=∠AGO,

,

∴∠AOG=∠GOE,

∴∠AOG=∠AGO,

AOAG;

②由①知,AOAG,

AOOG,

∴∠AOOGAG

∴△AOG是等邊三角形,

∴∠AGO=∠AOG=∠A60°,

∴∠BOF=∠AOG60°,

由①知,∠GOE=∠AOG60°,

∴∠EOB180°﹣∠AOG﹣∠GOE180°﹣60°﹣60°=60°,

∴∠FOB=∠EOB,

OFOE,OBOB,

∴△OFB≌△OEBSAS),

∴∠OFB=∠OEB90°,

OFBF,

OF是⊙O的半徑,

BF是⊙O的切線;

2)如圖2,連接GE,

∵∠A60°,

∴∠ABC90°﹣∠A30°,

OB2BE,

設(shè)⊙O的半徑為r,

OBOD+BD,

6+r2r,

r6,

AGOA6,AB2r+BD18,

ACAB9,∴CGACAG3

由(1)知,∠EOB60°,

OGOE,

∴△OGE是等邊三角形,

GEOE6,

根據(jù)勾股定理得,CE,

S陰影S梯形GCEOS扇形OGE6+3)×

練習(xí)冊系列答案
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