Question

【題目】如圖，矩形ABCD的兩邊AD、AB的長分別為3、8，邊BC落在x軸上，E是DC的中點(diǎn)，連接AE．

（1）若點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣6，0），求直線AE的表達(dá)式；

（2）反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F，若AF﹣AE＝2，求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，連接矩形ABCD兩對(duì)邊AD與BC的中點(diǎn)M、N，設(shè)線段MN與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)P，將線段MN沿x軸向右平移n個(gè)單位，若MP＜NP，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x；（2）y＝﹣；（3）＜n≤2．

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)A，E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出直線AE的表達(dá)式；（2）由DC的長結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，4），在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的長，結(jié)合AF﹣AE＝2可得出AF的長，由BC＝3可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，1），再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，進(jìn)而可得出反比例函數(shù)的表達(dá)式；（3）由（2）可得出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，結(jié)合平移的性質(zhì)可得出平移后點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，設(shè)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣+n，y），由點(diǎn)P在MN上且MP＜NP，可得出y的取值范圍，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出關(guān)于n的一元一次不等式組，解之即可得出n的取值范圍．

（1）由題意，可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，8），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，4）．

設(shè)直線AE的表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），

將A（﹣6，8），E（﹣3，4）代入y＝kx+b，得： ，

解得：，

∴當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，0）時(shí)，直線AE的表達(dá)式為y＝﹣x．

（2）∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，E是DC的中點(diǎn)，DC＝8，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，4）．

在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝4，∠ADE＝90°，

∴AE＝＝5．

∵AF﹣AE＝2，

∴AF＝7，

∴BF＝AB﹣AF＝1，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，1）．

∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y＝的圖象上，

∴﹣3＝m，

解得：m＝﹣4，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣．

（3）由（2）可知：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，8），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，0），

∴平移后的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣+n，8），平移后點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣+n，0）．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣+n，y），∵點(diǎn)P在MN上，且MP＜NP，

∴4＜y≤8．

∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，

∴，

解得：＜n≤2．