Question

【題目】小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，對一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：

問題情境：如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F．求證：S四邊形ABCD＝S△ABF．（S表示面積）

問題遷移：如圖2，在已知銳角∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P．過點(diǎn)P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N．小明將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，△MON的面積存在最小值．請問當(dāng)直線MN在什么位置時(shí)，△MON的面積最小，并說明理由．

實(shí)際應(yīng)用：如圖3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情，防疫部分計(jì)劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站的一條直線MN為隔離線，建立一個(gè)面積最小的三角形隔離區(qū)△MON．若測得∠AOB＝66，∠POB＝30，OP＝4km，試求△MON的面積．（結(jié)果精確到0.1km2）（參考數(shù)據(jù)：sin66≈0.91，tan66≈2.25，≈1.73）

拓展延伸：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)分別為（6，0）、（6，3）、、（4，2），過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將四邊形OABC分成兩個(gè)四邊形，求其中以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最大值．

Answer 1

【答案】問題情境：根據(jù)已知可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE，從而得出結(jié)論。

問題遷移：根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最小，過點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論。

實(shí)際運(yùn)用：∴。

拓展延伸：截得四邊形面積的最大值為10

【解析】

問題情境：根據(jù)已知可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE，從而得出結(jié)論。

問題遷移：根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最小，過點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論。

實(shí)際運(yùn)用：如圖3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1，M1，再根據(jù)條件由三角函數(shù)值就可以求出結(jié)論。

拓展延伸：分情況討論當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N，延長OC、AB交于點(diǎn)D，由條件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面積，再根據(jù)問題遷移的結(jié)論就可以求出最大值；

當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式，就可以求出T的坐標(biāo)，從而求出△OCT的面積，再由問題遷移的結(jié)論可以求出最大值，通過比較即可以求出結(jié)論。

解：問題情境：證明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE。

∵點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，∴DE=CE。

∵在△ADE和△FCE中，，

∴△ADE≌△FCE（AAS）。∴S△ADE=S△FCE。

∴S四邊形ABCE+S△ADE=S四邊形ABCE+S△FCE，即S四邊形ABCD=S△ABF。

問題遷移：當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最小，理由如下：

如圖2，過點(diǎn)P的另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F，

設(shè)PF＜PE，過點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G，

由問題情境可以得出當(dāng)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S四邊形MOFG=S△MON。

∵S四邊形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF。

∴當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最小。

實(shí)際運(yùn)用：如圖3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1，M1，

在Rt△OPP1中，∵∠POB=30°，

∴PP1=OP=2，OP1=2。

由問題遷移的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時(shí)，△MON的面積最小，

∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N。

在Rt△OMM1中，，即，

∴。∴。

∴。

∴。

拓展延伸：①如圖4，當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N，延長OC、AB交于點(diǎn)D，

∵C，∴∠AOC=45°。∴AO=AD。

∵A（6，0），∴OA=6。∴AD=6。

∴。

由問題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)PN=PM時(shí)，△MND的面積最小，

∴四邊形ANMO的面積最大。

作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分別為P1，M1，

∴M1P1=P1A=2。∴OM1=M1M=2，∴MN∥OA。

∴。

②如圖5，當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∵C、B（6，3），

∴，解得：。

∴直線BC的解析式為。

當(dāng)y=0時(shí)，x=9，∴T（9，0）。

∴。

由問題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)PM=PN時(shí)，△MNT的面積最小，

∴四邊形CMNO的面積最大。

∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4。∴，解得x=5。∴M（5，4）。

∴OM1=5。

∵P（4，2），∴OP1=4。∴P1M1=NP1=1。∴ON=3。∴NT=6。

∴。

∴。

∴綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10。