Question

【題目】如圖，直線是足球場(chǎng)的底線，是球門(mén)，點(diǎn)是射門(mén)點(diǎn)，連接，叫做射門(mén)角.

（1）如圖，點(diǎn)是射門(mén)點(diǎn)，另一射門(mén)點(diǎn)在過(guò)三點(diǎn)的圓外（未超過(guò)底線）.證明：

（2）如圖，經(jīng)過(guò)球門(mén)端點(diǎn)，直線，垂足為且與相切與點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，若，求此時(shí)一球員帶球沿直線向底線方向運(yùn)球時(shí)最大射門(mén)角的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）由同弧所對(duì)的圓周角相等可得：∠ACB=∠APB，再根據(jù)三角形外角大于不相鄰的內(nèi)角即可解答；

（2）由垂徑定理可得AE=EB=AB，∠EOB=∠AOB；在Rt△OBE中，再由OB =2a，EB= a，可得∠EOB=30°，∠AOB=2∠EOB=60°，根據(jù)圓周角定理可得結(jié)果.

解：（1）證明：

連接BC，∵∠ACB=∠APB（同弧所對(duì)的圓周角相等）

∠ACB（三角形外角大于不相鄰的內(nèi)角）

∴

（2）當(dāng)球員運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q時(shí)，射門(mén)角最大．

∵OE⊥AB,

∴AE=EB=AB=×2a=a，EC=EB+BC=2a，∠EOB=∠AOB

連接AQ、BQ，由題意得四邊形OQCE是矩形，OQ=EC=2a=OB，

Rt△OBE中，∵OB =2a，EB= a

∴∠EOB=30°，∠AOB=2∠EOB=60°

∴∠AQB=∠AOB=30°.