Question

【題目】已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA、EC．

（1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

（2）若點P在線段AB上，如圖2，當點P為AB的中點時，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

（3）在（1）的條件下，將正方形ABCD固定，正方形BPEF繞點B旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)AB=4，BP=a，若在旋轉(zhuǎn)過程中△ACE面積的最小值為4，請直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ACE是直角三角形，理由見解析；（3）a=1．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△APE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)解答；
（3）連接BD、AC交于點O．點E的運動軌跡是以B為圓心，a為半徑的圓，則當點E在對角線BD上時，△ACE的面積最小， 根據(jù)×AC×OE=4，得到OE=，即可求出BE=2–=，進而求出 a=1．

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，

∴AB=BC，BP=BF，∴AP=CF，

在△APE和△CFE中，，

∴△APE≌△CFE，

∴EA=EC；

（2）△ACE是直角三角形，

理由如下：如圖2中，

∵P為AB的中點，∴PA=PB，

∵PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45°，

又∵∠BAC=45°，

∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）如圖3，連接BD、AC交于點O．

∵點E的運動軌跡是以B為圓心，a為半徑的圓，

∴當點E在對角線BD上時，△ACE的面積最小，

∵×AC×OE=4，∴OE=，

∵BE=2–=，∴a=1．