Question

【題目】如圖，E是長方形ABCD的邊AB上的點，EF⊥DE交BC于點F

（1）求證：△ADE∽△BEF；

（2）設H是ED上一點，以EH為直徑作⊙O，DF與⊙O相切于點G，若DH＝OH＝3，求圖中陰影部分的面積（結果保留到小數(shù)點后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圖中陰影部分的面積約為6.2．

【解析】

（1）由條件可證∠AED＝∠EFB，從而可證△ADE∽△BEF．

（2）由DF與⊙O相切，DH＝OH＝OG＝3可得∠ODG＝30°，從而有∠GOE＝120°，并可求出DG、EF長，從而可以求出△DGO、△DEF、扇形OEG的面積，進而可以求出圖中陰影部分的面積．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝90°．

∵EF⊥DE，

∴∠DEF＝90°．

∴∠AED＝90°﹣∠BEF＝∠EFB．

∵∠A＝∠B，∠AED＝∠EFB，

∴△ADE∽△BEF．

（2）解：∵DF與⊙O相切于點G，

∴OG⊥DG．

∴∠DGO＝90°．

∵DH＝OH＝OG，

∴sin∠ODG＝．

∴∠ODG＝30°．

∴∠GOE＝120°．

∴S扇形OEG＝＝3π．

在Rt△DGO中，

cos∠ODG＝．

∴DG＝3．

在Rt△DEF中，

tan∠EDF＝．

∴EF＝3．

∴S△DEF＝，

S△DGO＝．

∴S陰影＝S△DEF﹣S△DGO﹣S扇形OEG

＝﹣3π

＝.9﹣3π

≈9×1.73﹣3×3.14

＝6.15

≈6.2

∴圖中陰影部分的面積約為6.2．