Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過兩點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PBC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式（指出自變量m的取值范圍）和S的最大值；

（3）點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）S△PBC＝﹣3m2+9m（0＜m＜3）；（3）M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣）

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），進(jìn)而可得出PF的長度，利用三角形的面積公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC面積的最大值；

（3）分兩種不同情況，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C上方或下方時(shí)，畫出圖形，由相似三角形的性質(zhì)得出方程，求出點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)即可．

（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，

得：，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6．

（2）過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，如圖1所示．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2x2+4x+6＝6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）．

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+c，

將B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），

∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，△PBC面積取最大值，最大值為 ．

∵點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，

∴0＜m＜3．

（3）存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似．

如圖2，∠CMN＝90°，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C上方，過點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，

∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，

∴△MCD∽△NCM，

若△CMN與△OBC相似，則△MCD與△NCM相似，

設(shè)M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），

∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，

當(dāng) 時(shí)，△COB∽△CDM∽△CMN，

∴ ，

解得，a＝1，

∴M（1，8），

此時(shí)，

∴N（0，），

當(dāng)時(shí)，△COB∽△MDC∽△NMC，

∴ ，

解得 ，

∴M（，），

此時(shí)N（0，）．

如圖3，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C的下方，

過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，

設(shè)M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），

∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，

同理可得：或，△CMN與△OBC相似，

解得或a＝3，

∴M（，）或M（3，0），

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為，N（0，）或N（0，﹣）．

綜合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），，N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似．