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【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,直線軸,軸分別交于點A和點B.拋物線經過A,B兩點,且對稱軸為直線,拋物線與軸的另一交點為點C.

1)求拋物線的函數表達式;

2設點E是拋物線上一動點,且點E在直線AB下方.當△ABE的面積最大時,求點E的坐標,及△ABE面積的最大值S;

拋物線上是否還存在其它點M,使△ABM的面積等于中的最大值S,若存在,求出滿足條件的點M的坐標;若不存在,說明理由;

3)若點F為線段OB上一動點,直接寫出的最小值.

【答案】1;(2E(-2,-4,4存在,;(3

【解析】

1)求出AB兩點坐標,利用待定系數法即可求解;

2設點E的坐標為,當△ABE的面積最大時,點E在拋物線上且距AB最遠,此時E所在直線與AB平行,且與拋物線只有一個交點.設點E所在直線為ly=-x+b,與二次函數聯立方程組,根據只有一個交點,得,求出b,進而求出點E坐標;

拋物線上直線AB上方還存在其它點M,使△ABM的面積等于中的最大值S,此時點M所在直線與直線AB平行,且與直線l到直線AB距離相等,求出直線解析式,與二次函數聯立方程組,即可求解;

3)如圖,作 x軸于點G,作FPBG,于P,得到,所以當C、FP在同一直線上時, 有最小值,作CHGBH,求出CH即可.

解:(1)在中分別令x=0,y=0,可得點A(-4,0),B(0,-4),

根據A,B坐標及對稱軸為直線,可得方程組

解方程組可得

拋物線的函數表達式為

2設點E的坐標為,當△ABE的面積最大時,

E在拋物線上且距AB最遠,此時E所在直線與AB平行,且與拋物線只有一個交點.設點E所在直線為ly=-x+b.

聯立得方程,消去y

,據題意;

解之得,直線l的解析式為y=-x-6,

聯立方程,解得

∴點E(-2,-4),

Ey軸的平行線可求得△ABE面積的最大值為4.

拋物線上直線AB上方還存在其它點M,使△ABM的面積等于中的最大值S,此時點M所在直線與直線AB平行,且與直線l到直線AB距離相等,易得直線是直線l向上平移4個單位,

∴解析式y=-x-2,與二次函數聯立方程組可得

方程組解之得

∴存在兩個點,

3)如圖,作 x軸于點G,作FPBGP

是直角三角形,

,

,

∴當C、FP在同一直線上時, 有最小值,

CHGBH,

中,∵

,,

A(-4,0),拋物線對稱軸為直線,

∴點C坐標為(2,0),

,

中, ,

的最小值為

練習冊系列答案
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