Question

20．問題探究：

（1）如圖①，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D在BC上，若AD平分△ABC的面積，請(qǐng)你畫出線段AD，并計(jì)算線段AD的長(zhǎng)度．
（2）如圖②，平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=60°，點(diǎn)M在AD上，點(diǎn)N在BC上，若MN平分平行四邊形ABCD的面積，且線段MN的長(zhǎng)度最短，請(qǐng)你畫出符合要求的線段MN，并求出此時(shí)MN的長(zhǎng)度．
問題解決
（3）如圖③，四邊形ABCD是規(guī)則中的商業(yè)區(qū)示意圖，其中AD∥BC，∠B=90°，AD=1km，AB=2.4km，CD=2.6km，現(xiàn)計(jì)劃在商業(yè)區(qū)內(nèi)修一條筆直的單行道，入口M在AB上，出口N在BC上，使得MN將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，且MN的長(zhǎng)度最短，你認(rèn)為滿足條件的MN是否存在？若存在，請(qǐng)求出MN的最短長(zhǎng)度，并求出入口M和出口N與點(diǎn)B的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）作中線AD，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾股定理求AD的長(zhǎng)；
（2）經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分，當(dāng)MN⊥BC時(shí)，最短，作兩平行線AD和BC的距離AE，根據(jù)三角函數(shù)求AE的長(zhǎng)，即是MN的長(zhǎng)；
（3）存在，先根據(jù)勾股定理求BC的長(zhǎng)，設(shè)BM=a，BN=b，根據(jù)面積的關(guān)系求ab=3.6，且保證a+b最小，所以MN最小，分別計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖①，作中線AD，則AD平分△ABC的面積，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AC=AB=5，
∴AD⊥BC，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
（2）連接AC、BD，交于O，
過O作直線MN，交AD于M，交BC于N，如圖②，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON，
∴S_△AOM=S_△CON，
同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，
∴S_△OMD=S_△ONB，S_△AOB=S_△COD，
∴S_△AOM+S_△AOB+S_△BON=S_△CON+S_△COD+S_△OMD，
即MN將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，
當(dāng)MN⊥BC時(shí)，MN是最短，如圖③，
過A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∵∠ABC=60°，
∴sin60°=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
∵AD∥BC，AE⊥BC，MN⊥BC，
∴MN=AE=3$\sqrt{3}$，
∴此時(shí)MN的長(zhǎng)度為3$\sqrt{3}$；
（3）存在，
如圖④，過D作DE⊥BC于E，則四邊形ABED是矩形，
∴BE=AD=1，DE=AB=2.4，
由勾股定理得：EC=$\sqrt{2．{6}^{2}-2．{4}^{2}}$=1，
∴BC=BE+EC=2，
如圖⑤，設(shè)BM=a，BN=b，
∵M(jìn)N將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，
∴$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（1+2）×2.4，
ab=3.6，
在Rt△BMN中，MN=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-2ab}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-7.2}$，
當(dāng)a²+b²最小時(shí)，MN最小，
由（a-b）²≥0可知：a²+b²≥2ab，
當(dāng)a=b時(shí)，a²+b²有最小值，
∴當(dāng)a=b時(shí)，MN最小，則a=b=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴MN=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{10}}{5}）^{2}+（\frac{3\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
答：MN的最短長(zhǎng)度為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$km，出入口M和出口N與點(diǎn)B的距離都是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$km．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形、等腰三角形、梯形的性質(zhì)，明確三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分，利用面積相等的長(zhǎng)方形和正方形中，正方形的周長(zhǎng)小于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，確定第三問中MN的最小值．