Question

已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），拋物線（）過點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C．點(diǎn)P（m，n）（n<0）為拋物線上一點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)∠APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍．

（3）若，當(dāng)∠APB為直角時(shí)，將該拋物線向左或向右平移t（）個(gè)單位，點(diǎn)P、C移動(dòng)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為、，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、、所構(gòu)成的多邊形的周長(zhǎng)最短？若存在，求t值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

 (1)解:依題意把的坐標(biāo)代入得: ;解得:

拋物線解析式為

頂點(diǎn)橫坐標(biāo),將代入拋物線得

(2)如圖,當(dāng)時(shí),設(shè),

則

過作直線軸,

(注意用整體代入法)

解得

,

當(dāng)在之間時(shí)，

或時(shí)，為鈍角.

(3)依題意，且

設(shè)移動(dòng)（向右，向左）

連接

則

又的長(zhǎng)度不變

四邊形周長(zhǎng)最小，只需最小即可

將沿軸向右平移5各單位到處

沿軸對(duì)稱為

∴當(dāng)且僅當(dāng)、B、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小為，此時(shí)

，設(shè)過的直線為，代入

∴  即

將代入，得：，解得：

∴當(dāng)，P、C向左移動(dòng)單位時(shí)，此時(shí)四邊形ABP’C’周長(zhǎng)最小。