Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上.

（1）求直線的解析式.

（2）點(diǎn)為直線下方拋物線上的一點(diǎn)，連接，.當(dāng)的面積最大時(shí)，連接，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，求的最小值.

（3）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，將拋物線與軸正方向平移得到新拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的頂點(diǎn)為點(diǎn)，在新拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形?若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或或.

【解析】

（1）求出點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入即可；

（2）先求出直線CE解析式，過(guò)點(diǎn)P作軸，交CE與點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F，從而可表示出△EPC的面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)可求出x的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對(duì)稱點(diǎn)G、H，連接G、H交CD和CP與N、M，當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在一條直線上時(shí)，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH，利用勾股定理求出GH即可；

(3)由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后分為三種情況討論求解即可.

解：（1）

當(dāng)時(shí)，

設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得

解得

所以直線的解析式為.

（2）設(shè)直線CE的解析式為，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得:

解得:

直線CE的解析式為

如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸，交CE與點(diǎn)F

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F

則FP＝

∴當(dāng)時(shí)，△EPC的面積最大，

此時(shí)

如圖2所示:作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對(duì)稱點(diǎn)G、H，連接G、H交CD和CP與N、M

K是CB的中點(diǎn)，

OD＝1，OC＝3

K是BC的中點(diǎn)，∠OCB＝60°

點(diǎn)O與點(diǎn)K關(guān)于CD對(duì)稱

點(diǎn)G與點(diǎn)O重合

∴點(diǎn)G(0，0)

點(diǎn)H與點(diǎn)K關(guān)于CP對(duì)稱

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為

當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時(shí)，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH

的最小值為3.

（3）如圖

經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，的頂點(diǎn)為點(diǎn)F

∴點(diǎn)

點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，

當(dāng)FG＝FQ時(shí)，點(diǎn)或

當(dāng)GF＝GQ時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

點(diǎn)

當(dāng)QG＝QF時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

由兩點(diǎn)間的距離公式可得：，解得

點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或或