Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P（x1，y1）Q（x2，y2），定義P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值與縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值的和為P、Q兩點(diǎn)的直角距離，記作d（P，Q）．即d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，4），B（5，2），則d（A，B）＝|5﹣1|+|2﹣4|＝6．

（1）如圖2，已知以下三個(gè)圖形：

①以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓；

②以原點(diǎn)為中心，4為邊長(zhǎng)，且各邊分別與坐標(biāo)軸垂直的正方形；

③以原點(diǎn)為中心，對(duì)角線分別在兩條坐標(biāo)軸上，對(duì)角線長(zhǎng)為4的正方形．

點(diǎn)P是上面某個(gè)圖形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足d（O，P）＝2總成立．寫(xiě)出符合題意的圖形對(duì)應(yīng)的序號(hào)　 　．

（2）若直線y＝k（x+3）上存在點(diǎn)P使得d（O，P）＝2，求k的取值范圍．

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為動(dòng)點(diǎn)，且d（O，P）＝3，⊙M圓心為M（t，0），半徑為1．若⊙M上存在點(diǎn)N使得PN＝1，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ③;(2)﹣≤k≤；（3）﹣5≤t≤﹣3+2或3﹣2≤t≤5．

【解析】

（1）分三種情況設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，按照兩點(diǎn)的直角距離的定義可以直接求出結(jié)果，即可判斷各結(jié)論是否符合題意；

（2）分別求出直線y＝k（x+3）經(jīng)過(guò)特殊點(diǎn)（0，2），（0，﹣2）時(shí)k的值，由運(yùn)動(dòng)過(guò)程寫(xiě)出k的取值范圍；

（3）由（1）可判斷滿足d（O，P）＝3的點(diǎn)是在以原點(diǎn)為中心，對(duì)角線在坐標(biāo)軸上，且對(duì)角線長(zhǎng)為6的正方形ABCD上，再分別求出⊙M與正方形在y軸左右兩邊最遠(yuǎn)距離為2時(shí)t的值，即可寫(xiě)出結(jié)果．

解：（1）①如圖1，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，

設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，則縱坐標(biāo)為，

∴P（1，），

根據(jù)定義兩點(diǎn)的直角距離，d（P，O）＝|2﹣0|+|﹣0|＝2+≠2，

故①不符合題意；

②如圖2，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為中心，4為邊長(zhǎng)，且各邊分別與坐標(biāo)軸垂直的正方形上時(shí)，

設(shè)P（2，a）（a≠0），

則d（P，O）＝|2﹣0|+|a﹣0|＝2+a≠2，

故②不符合題意；

③如圖3，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為中心，對(duì)角線分別在兩條坐標(biāo)軸上，對(duì)角線長(zhǎng)為4的正方形上時(shí)，

將點(diǎn)A（0，2），D（2，0）代入y＝kx+b，

得，，

解得，k＝﹣1，b＝2，

∴yAD＝﹣x+2，

設(shè)點(diǎn)P在AD上，坐標(biāo)為（a，﹣a+2）（0≤a≤2），

則d（P，O）＝|a﹣0|+|﹣a+2﹣0|＝2，

故③符合題意；

故答案為③；

（2）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)（0，2）時(shí)，將（0，2）代入直線y＝k（x+3），

得，3k＝2，

∴k＝；

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)（0，﹣2）時(shí)，將（0，﹣2）代入直線y＝k（x+3），

得，3k＝﹣2，

∴k＝﹣；

運(yùn)動(dòng)觀察可知，k的取值范圍為﹣≤k≤；

（3）由題意，滿足d（O，P）＝3的點(diǎn)是在以原點(diǎn)為中心，對(duì)角線在坐標(biāo)軸上，且對(duì)角線長(zhǎng)為6的正方形ABCD上（如圖4），

當(dāng)M在正方形ABCD外時(shí)，若MA＝2，則t＝﹣5，若MC＝2，則t＝5，

當(dāng)M在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，

若M到正方形AD，AB邊的距離恰好為2，

則t＝﹣3+2，

若M到正方形DC，BC邊的距離恰好為2，

則t＝3﹣2，

運(yùn)動(dòng)觀察可知，t的取值范圍為﹣5≤t≤﹣3+2或3﹣2≤t≤5．