Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx +3與x軸的交點(diǎn)為A和B，其中點(diǎn)A(-1，0)，且點(diǎn)D(2，3)在該拋物線上．

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交該拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，DQ，記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

①若時(shí)，求△面積的最大值；

②若△是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，△ADQ面積最大為；②Q（，）或（，）．

【解析】

（1）把A(-1,0），D（2，3）代入解析式即可求解；

（2）①由P的橫坐標(biāo)為t， Q（t，）,求出直線AD的解析式為，設(shè)點(diǎn)C為直線PQ與直線AD的交點(diǎn)，求得點(diǎn)坐標(biāo)為（），得到，利用，將△面積表示為關(guān)于t的二次函數(shù)，故可求解；

②△AQD是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí),∠AQD=90°，過點(diǎn)D作DK⊥PQ于點(diǎn)K，

證明△PQA∽△KDQ得到，代入得，解出t即可求解．

（1）解：將A(-1,0）和點(diǎn)D（2，3）代入得，

，

解得，

∴該拋物線的解析式為．

（2）①由P的橫坐標(biāo)為t，則P（t，0），Q（t，）．

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0）

把A（-1，0），D（2，3）代入得

解得

∴直線AD的解析式為

如圖：設(shè)點(diǎn)C為直線PQ與直線AD的交點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為（）

∴

∴

拋物線開口向下

∴當(dāng)時(shí)，△ADQ面積最大為；

②△AQD是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí),∠AQD=90°，

過點(diǎn)D作DK⊥PQ于點(diǎn)K，

∴∠APQ=∠QKD=90°，

∵∠DQK+∠PQA=90°，

又∠DQK+∠KDQ=90°，

∴∠PQA=∠KDQ，

∴△PQA∽△KDQ

∴，

∴，

∴，

∵，（即Q不與A、D重合），

∴，整理得：，

解得，

經(jīng)驗(yàn)證，、均符合題意，

其中：，符合圖a的情況，，符合圖b的情況．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴Q（，）或（，）．