Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+2x+8與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且B（4，0）．

(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如果點(diǎn)P（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)|PC﹣PD|取得最大值時(shí)，求p的值；

(3)能否在拋物線第一象限的圖象上找到一點(diǎn)Q，使△QBC的面積最大，若能，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣（x﹣1）2+9 ，D（1，9）； (2)p=﹣8；（3）存在點(diǎn)Q（2，8）使△QBC的面積最大．

【解析】

（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=ax2+2x+8求得a的值，即可得到該拋物線的解析式，再把所得解析式配方化為頂點(diǎn)式，即可得到拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）由題意可知點(diǎn)P在直線CD上時(shí)，|PC﹣PD|取得最大值，因此，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出直CD的解析式，即可求得符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到p的值；

（3）由（1）中所得拋物線的解析式設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+8）（0＜m＜4），然后用含m的代數(shù)式表達(dá)出△BCQ的面積，并將所得表達(dá)式配方化為頂點(diǎn)式即可求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（1）∵拋物線y=ax2+2x+8經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0），

∴16a+8+8=0，

∴a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，

∴D（1，9）；

（2）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=8，

∴C（0，8）．

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．

將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入得：，解得：k=1，b=8，

∴直線CD的解析式為y=x+8．

當(dāng)y=0時(shí)，x+8=0，解得：x=﹣8，

∴直線CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣8，0）．

∵當(dāng)P在直線CD上時(shí)，|PC﹣PD|取得最大值，

∴p=﹣8；

（3）存在，

理由：如圖，由（2）知，C（0，8），

∵B（4，0），

∴直線BC的解析式為y=﹣2x+8，

過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸交BC于E，

設(shè)Q（m，﹣m2+2m+8）（0＜m＜4），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（m，﹣2m+8），

∴EQ=﹣m2+2m+8﹣（﹣2m+8）=﹣m2+4m，

∴S△QBC=（﹣m2+4m）×4=﹣2（m﹣2）2+8，

∴m=2時(shí)，S△QBC最大，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2，8）．