【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,0),以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形△AOB,點C為x正半軸上一動點(OC>2),連接BC,以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形△CBD連接DA并延長交y軸于點E.
(1)在點C的運動過程中,△OBC和△ABD全等嗎?請說明理由;
(2)在點C的運動過程中,∠CAD的度數(shù)是否會變化?如果不變,請求出∠CAD的度數(shù);如果變化請說明理由;
(3)探究當點C運動到什么位置時,以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形?
【答案】(1)△OBC和△ABD全等,理由見解析,(2)不會發(fā)生變化,60°,(3)當點C的坐標為(6,0)時,以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形
【解析】
(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OBA=∠CBD=60°,OB=BA,BC=BD,則∠OBC=∠ABD,然后可根據(jù)“SAS”可判定△OBC≌△ABD;
(2)由△AOB是等邊三角形知∠BOA=∠OAB=60°,再由△OBC≌△ABD知∠BAD=∠BOC=60°,根據(jù)∠CAD=180°﹣∠OAB﹣∠BAD可得結(jié)論;
(3)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),求得∠EAC=120°,進而得出以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形時,AE和AC是腰,最后根據(jù)Rt△AOE中,OA=2,∠OEA=30°,求得AC=AE=4,據(jù)此得到OC=6,即可得出點C的位置.
(1)△OBC和△ABD全等,理由是:
∵△AOB,△CBD都是等邊三角形,
∴OB=AB,CB=DB,∠ABO=∠DBC,
∴∠OBC=∠ABD,
在△OBC和△ABD中,
∵,
∴△OBC≌△ABD(SAS);
(2)點C在運動過程中,∠CAD的度數(shù)不會發(fā)生變化,理由如下:
∵△AOB是等邊三角形,
∴∠BOA=∠OAB=60°,
∵△OBC≌△ABD,
∴∠BAD=∠BOC=60°,
∴∠CAD=180°﹣∠OAB﹣∠BAD=60°;
(3)∵△OBC≌△ABD,
∴∠BOC=∠BAD=60°,
又∵∠OAB=60°,
∴∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠EAC=120°,∠OEA=30°,
∴以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形時,AE和AC是腰,
∵點A的坐標為(2,0),
∴OA=2,
在Rt△AOE中,∠OEA=30°,
∴AE=4,
∴AC=AE=4,
∴OC=2+4=6,
∴當點C的坐標為(6,0)時,以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小敏在研究數(shù)學問題時遇到一個定義:將三個已經(jīng)排好順序數(shù):x1,x2,x3,稱為數(shù)列x1,x2,x3.計算|x1|,,,將這三個數(shù)的最小值稱為數(shù)列x1,x2,x3的最佳值.例如,對于數(shù)列2,-1,3,因為|2|=2,=,=,所以數(shù)列2,-1,3的最佳值為.
小敏進一步發(fā)現(xiàn):當改變這三個數(shù)的順序時,所得到的數(shù)列都可以按照上述方法計算其相應(yīng)的最佳值.如數(shù)列-1,2,3的最佳值為;數(shù)列3,-1,2的最佳值為1;….經(jīng)過研究,小敏發(fā)現(xiàn),對于“2,-1,3”這三個數(shù),按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中,最佳值的最小值為.根據(jù)以上材料,回答下列問題:
(1)數(shù)列-4,-3,1的最佳值為______;
(2)將“-4,-3,2”這三個數(shù)按照不同的順序排列,可得到若干個數(shù)列,這些數(shù)列的最佳值的最小值為______,取得最佳值最小值的數(shù)列為______(寫出一個即可);
(3)將2,-9,a(a>1)這三個數(shù)按照不同的順序排列,可得到若干個數(shù)列.若這些數(shù)列的最佳值為1,求a的值.
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【題目】在□ABCD中,∠BAD,∠BCD的平分線分別交BC,AD于點F,E.
(1)求證:四邊形AFCE是平行四邊形;
(2)若BF=4,FC=3,求□ABCD的周長.
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【題目】如圖,平行四邊形中,,,,點與點是平行四邊形邊上的動點,點以每秒個單位長度的速度,從點運動到點,點以每秒個單位長度的速度從點→點→點運動.當其中一個點到達終點時,另一個隨之停止運動.點與點同時出發(fā),設(shè)運動時間為,的面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為何值時,將以它的一邊為軸翻折,翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB’C’D’,圖中陰影部分的面積為( ).
A. B. C. D.
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【題目】(1)如圖①,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分線交于O點,過O點作EF∥BC交AB、AC于點E、F.試猜想EF、BE、CF之間有怎樣的關(guān)系,并說明理由.
(2)如圖,若將圖①中∠ACB的平分線改為外角∠ACD的平分線,其它條件不變,則剛才的結(jié)論還成立嗎?請說明理由.
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【題目】如圖,已知A,B兩點在數(shù)軸上,點A在原點O的左邊,表示的數(shù)為﹣10,點B在原點的右邊,且BO=3AO.點M以每秒3個單位長度的速度從點A出發(fā)向右運動.點N以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)向右運動(點M,點N同時出發(fā)).
(1)數(shù)軸上點B對應(yīng)的數(shù)是 ,點B到點A的距離是 ;
(2)經(jīng)過幾秒,原點O是線段MN的中點?
(3)經(jīng)過幾秒,點M,N分別到點B的距離相等?
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【題目】某小組6名同學參加一次知識競賽,共答20道題,每題分值相同,答對得分,答錯或不答扣分,下面是前5名同學的得分情況(如下表):
(1)表中的m = ,n = ;
(2)該小組第6名同學說:“這次知識競賽我得了0分”,請問他的說法是否正確?如果正確,請求出這位同學答對了多少題;如果不正確,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】居民消費價格指數(shù)是一個反映居民家庭一般所購買的消費品和服務(wù)項目價格水平變動情況的宏觀經(jīng)濟指標.據(jù)統(tǒng)計,從2018年9月到2019年8月,全國居民消費價格每月比上個月的增長率如下圖所示:
根據(jù)上圖提供的信息,下列推斷中不合理的是( )
A.2018年12月的增長率為0.0%,說明與2018年11月相比,全國居民消費價格保持不變
B.2018年11月與2018年10月相比,全國居民消費價格降低0.3%
C.2018年9月到2019年8月,全國居民消費價格每月比上個月的增長率中最小的是-0.4%
D.2019年1月到2019年8月,全國居民消費價格每月比上個月的增長率一直持續(xù)變大
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