【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,點A在第一象限,點Bx軸正半軸上,AO=AB,OB=4,tanAOB=2,點C是線段OA的中點.

1)求點C的坐標(biāo);

2)若點Px軸上的一個動點,使得∠APO=CBO,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A、點P,求這條拋物線的函數(shù)解析式;

3)在(2)的條件下,點M是拋物線圖象上的一個動點,以M為圓心的圓與直線OA相切,切點為點N,點A關(guān)于直線MN的對稱點為點D.請你探索:是否存在這樣的點M,使得MAD∽△AOB?若存在,請直接寫出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1C的坐標(biāo)為(1,2);(2y=x2+xy=x2+x;(3)存在這樣的點M6,4)或(10,-)或(﹣1020)或(﹣6,4),使得MAD∽△AOB

【解析】

1)過點AADOB于點D,過點CCEOB于點E,由等腰三角形的性質(zhì)可得OD=OB=2,根據(jù)tanAOB=2,可得AD=4,根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求出C點坐標(biāo);(2)由(1)可得A點坐標(biāo)和∠CBE的正切值,進而可得∠APO的正切值,即可求出PD的長,根據(jù)PD=|x2|,可求出P點坐標(biāo),把A、P兩點坐標(biāo)代入y=ax2+bx即可求出a、b的值,即可得拋物線解析式;(3)若MAD∽△AOB,則∠MAN=AOB,由于(2)中由兩個拋物線解析式,所以分兩種情況討論,由于切點N的不確定性,所以點N的位置由兩種,一種是點N在點A的上方,另一種是點N在點A的下方.

1)過點AADOB于點D,過點CCEOB于點E,

AO=AB,

ADAOB的中線,

OD=OB=2,

tanAOB=2

=2,

AD=4,

CEAD,點CAO的中點,

CEAOD的中位線,

CE=AD=2,OE=OD=1,

C的坐標(biāo)為(1,2);

2)由(1)可知:CE=2,BE=3A的坐標(biāo)為(2,4),

tanCBE==,

∵∠APO=CBO,

tanAPO=tanCBO=,

=,

PD=6

設(shè)P的坐標(biāo)為(x,0),

D2,0),

PD=|x2|,

|x2|=6

x=8x=4,

P8,0)或(﹣4,0);

當(dāng)P的坐標(biāo)為(80)時,把A24)和(8,0)代入y=ax2+bx,

解得:,

∴拋物線的解析式為:y=x2+x,

當(dāng)P的坐標(biāo)為(﹣40)時,把A2,4)和P(﹣40)代入y=ax2+bx,

,解得:,

∴拋物線的解析式為:y=x2+x,

綜上所述,拋物線的解析式為:y=x2+xy=x2+x;

3)∵M為圓心,N為切點,

MNOA,

D點是A點關(guān)于MN的對稱點,

∴△MAD是等腰三角形,MA=MD

當(dāng)MAD∽△AOB時,

∵△AOB是等腰三角形,

∴∠MAD=AOB

當(dāng)拋物線的解析式為y=x2+x時,如圖2,

①若點NA的上方時,此時∠MAN=AOB

AMx軸,

M的縱坐標(biāo)為4

∴把y=4代入y=x2+x,

解得:x=2(舍去)或x=6,

M的坐標(biāo)為(6,4),

②當(dāng)點N在點A的下方時,此時∠MDA=AOB,

DMx軸,

過點AAEDM于點E,交于x軸于點F,設(shè)D點橫坐標(biāo)為a,

DE=2-a,

tanMDA=tanAOB=2,

AE=2DE=4-2a,

∴點M的縱坐標(biāo)為2a,

∴由勾股定理可知:AD=2-a),OA=2,

,解,

DM=,

設(shè)M的橫坐標(biāo)為x,

x-a=

x=,

M,2a

M,2a)代入y=x2+x,

得:2a=-×()2+×()

解得:a=2a=-

∴當(dāng)a=2時,M24)舍去

當(dāng)a=-時,M10-

當(dāng)拋物線的解析式為y=x2+x時,如圖4

若點N在點A的上方時,此時∠MAN=AOB,

延長MAx軸于點F,

∵∠MAN=OAF,

∴∠AOB=OAF,

FA=FO,

過點FFGOA于點G

A2,4),

∴由勾股定理可求得:AO=2,

OG=AO=

tanAOB=

GF=2,

∴由勾股定理可求得:OF=5

F的坐標(biāo)為(5,0),設(shè)直線MA的解析式為:y=mx+n

A2,4)和F5,0)代入y=mx+n,

解得:,

∴直線MA的解析式為:y=+

聯(lián)立

∴解得:x=2(舍去)或x=10,

x=10代入y=+,

y=20,

M(﹣10,20),

若點N在點A的下方時,此時∠MAN=AOB,

AMx軸,

M的縱坐標(biāo)為4,

y=4代入y=x2+x

x=6x=2(舍去),

M(﹣6,4),

綜上所述,存在這樣的點M6,4)或(10-)或(﹣10,20)或(﹣6,4),使得△MAD∽△AOB

練習(xí)冊系列答案
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(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;

(2)如圖2,該拋物線與y軸交于點C,頂點為F,點D(2,3)在該拋物線上.

①求四邊形ACFD的面積;

②點P是線段AB上的動點(點P不與點A、B重合),過點P作PQ⊥x軸交該拋物線于點Q,連接AQ、DQ,當(dāng)△AQD是直角三角形時,求出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo).

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(1)求∠BAC的度數(shù);

(2)當(dāng)點DAB上方,且CDBP時,求證:PC=AC;

(3)在點P的運動過程中

①當(dāng)點A在線段PB的中垂線上或點B在線段PA的中垂線上時,求出所有滿足條件的∠ACD的度數(shù);

②設(shè)⊙O的半徑為6,點E到直線l的距離為3,連結(jié)BD,DE,直接寫出BDE的面積.

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(1)有月租的收費方式是________(”),月租費是________元;

(2)分別求出①,②兩種收費方式中y與自變量x之間的函數(shù)表達式;

(3)請你根據(jù)用戶通訊時間的多少,給出經(jīng)濟實惠的選擇建議.

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【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長:中華漢字,寓意深廣,為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團委組織了一次全校3000名學(xué)生參加的漢字聽寫大賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績均不低于50分.為了更好地了解本次大賽的成績分布情況,隨機抽取了其中200名學(xué)生的成績(成績x取整數(shù),總分100分)作為樣本進行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計圖表:

成績x/

頻數(shù)

頻率

50≤x60

10

0.05

60≤x70

20

0.10

70≤x80

30

b

80≤x90

a

0.30

90≤x≤100

80

0.40

請根據(jù)所給信息,解答下列問題:

1a=______b=______;

2)請補全頻數(shù)分布直方圖;

3)這次比賽成績的中位數(shù)會落在_____________分?jǐn)?shù)段;

4)若成績在90分以上(包括90分)的為優(yōu)等,則該校參加這次比賽的3000名學(xué)生中成績優(yōu)等約有多少人?

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(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件32.4元,求兩次下降的百分率;

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(1)每臺大型收割機和每臺小型收割機1小時收割小麥各多少公頃?

(2)大型收割機每小時費用為300元,小型收割機每小時費用為200元,兩種型號的收割機一共有10臺,要求2小時完成8公頃小麥的收割任務(wù),且總費用不超過5400元,有幾種方案?請指出費用最低的一種方案,并求出相應(yīng)的費用.

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(1)求這種筆和本子的單價;

(2)該同學(xué)打算用自己的100元壓歲錢購買這種筆和本子,計劃100元剛好用完,并且筆和本子都買,請列出所有購買方案.

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