Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知二次函數y=k（x﹣ax﹣b），其中a≠b．

（1）若此二次函數圖象經過點（0，k），試求a，b滿足的關系式．

（2）若此二次函數和函數y=x2﹣2x的圖象關于直線x=2對稱，求該函數的表達式．

（3）若a+b=4，且當0≤x≤3時，有1≤y≤4，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）ab=1；（2）y=x2﹣6x+8；（3）a=．

【解析】

（1）將（0，k）代入y=k（x﹣ax﹣b），整理后即可得；

（2）由（1）知，k=1，易得函數y=x2﹣2x與x軸交點的坐標為（0，0）、（2，0），由對稱性可知此二次函數與x軸的交點坐標為（2，0），（4，0），由此即可求得解析式；

（3）根據a+b=4，可得函數表達式變形為y=k（x﹣a）（x+a﹣4），然后分k＞0、k＜0兩種情況分別討論即可得.

（1）將（0，k）代入y=k（x﹣ax﹣b），得kab=k，

∵k≠0，

∴ab=1；

（2）由（1）知，k=1，

易得函數y=x2﹣2x與x軸交點的坐標為（0，0）、（2，0），

因為此二次函數和函數y=x2﹣2x的圖象關于直線x=2對稱，

所以此二次函數與x軸的交點坐標為（2，0），（4，0），

∴該函數解析式為：y=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8；

（3）∵a+b=4，

∴函數表達式變形為y=k（x﹣a）（x+a﹣4）．

①當k＞0時，則根據題意可得：當x=2，y=1；

當x=0時，y=4，

∴，

消去k，整理，得

3a2﹣12a+16=0，

∵△=﹣48＜0，

∴此方程無解；

②當k＜0時，則根據題意可得：當x=2，y=4，

當x=0時，y=1，

∴，

消去k，整理，得，

3a2﹣12a﹣4=0，

解得a=．