【題目】在平面直角坐標系中,已知二次函數y=k(x﹣ax﹣b),其中a≠b.
(1)若此二次函數圖象經過點(0,k),試求a,b滿足的關系式.
(2)若此二次函數和函數y=x2﹣2x的圖象關于直線x=2對稱,求該函數的表達式.
(3)若a+b=4,且當0≤x≤3時,有1≤y≤4,求a的值.
【答案】(1)ab=1;(2)y=x2﹣6x+8;(3)a=.
【解析】
(1)將(0,k)代入y=k(x﹣ax﹣b),整理后即可得;
(2)由(1)知,k=1,易得函數y=x2﹣2x與x軸交點的坐標為(0,0)、(2,0),由對稱性可知此二次函數與x軸的交點坐標為(2,0),(4,0),由此即可求得解析式;
(3)根據a+b=4,可得函數表達式變形為y=k(x﹣a)(x+a﹣4),然后分k>0、k<0兩種情況分別討論即可得.
(1)將(0,k)代入y=k(x﹣ax﹣b),得kab=k,
∵k≠0,
∴ab=1;
(2)由(1)知,k=1,
易得函數y=x2﹣2x與x軸交點的坐標為(0,0)、(2,0),
因為此二次函數和函數y=x2﹣2x的圖象關于直線x=2對稱,
所以此二次函數與x軸的交點坐標為(2,0),(4,0),
∴該函數解析式為:y=(x﹣2)(x﹣4)=x2﹣6x+8;
(3)∵a+b=4,
∴函數表達式變形為y=k(x﹣a)(x+a﹣4).
①當k>0時,則根據題意可得:當x=2,y=1;
當x=0時,y=4,
∴,
消去k,整理,得
3a2﹣12a+16=0,
∵△=﹣48<0,
∴此方程無解;
②當k<0時,則根據題意可得:當x=2,y=4,
當x=0時,y=1,
∴,
消去k,整理,得,
3a2﹣12a﹣4=0,
解得a=.
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【題目】如圖(1),P為△ABC所在平面上一點,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點P叫做△ABC的費馬點.
(1)如果點P為銳角△ABC的費馬點,且∠ABC=60°.
①求證:△ABP∽△BCP;
②若PA=3,PC=4,則PB= .
(2)已知銳角△ABC,分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD 相交于P點.如圖(2)
①求∠CPD的度數;
②求證:P點為△ABC的費馬點.
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【題目】如圖,AD是Rt△ABC斜邊BC上的高.
(1)尺規(guī)作圖:作∠C的平分線,交AB于點E,交AD于點F(不寫作法,必須保留作圖痕跡,標上應有的字母);
(2)在(1)的條件下,過F畫BC的平行線交AC于點H,線段FH與線段CH的數量關系如何?請予以證明;
(3)在(2)的條件下,連結DEDH.求證:ED⊥HD.
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【題目】我們知道,各個角都相等,各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.對一個各條邊都相等的凸多邊形(邊數大于3),可以由若干條對角線相等判定它是正多邊形.例如,各條邊都相等的凸四邊形,若兩條對角線相等,則這個四邊形是正方形.
(1)已知凸五邊形的各條邊都相等.
①如圖1,若,求證:五邊形是正五邊形;
②如圖2,若,請判斷五邊形是不是正五邊形,并說明理由:
(2)判斷下列命題的真假.(在括號內填寫“真”或“假”)
如圖3,已知凸六邊形的各條邊都相等.
①若,則六邊形是正六邊形;( )
②若,則六邊形是正六邊形. ( )
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于點E,連CD分別交AE,AB于點F,G,過點A作AH⊥CD交BD于點H.則下列結論:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正確結論的個數為( 。
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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【題目】如圖,等腰三角形ABC的底邊BC長為4,面積是16,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,AB邊于E,F點若點D為BC邊的中點,點M為線段EF上一動點,則周長的最小值為
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與x軸交于點A,與y軸交于點C.拋物線經過A,C兩點,且與x軸交于另一點B(點B在點A右側).
(1)求拋物線的解析式及點B坐標;
(2)若點M是線段BC上的一動點,過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F,交拋物線于點E.求ME長的最大值;
(3)試探究當ME取最大值時,在拋物線上、x軸下方是否存在點P,使以M,F,B,P為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,試說明理由.
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【題目】隨著人們經濟收入的不斷提高,汽車已越來越多地進入到各個家庭.某大型超市為緩解停車難問題,建筑設計師提供了樓頂停車場的設計示意圖.按規(guī)定,停車場坡道口上坡要張貼限高標志,以便告知車輛能否安全駛入.如圖,地面所在的直線ME與樓頂所在的直線AC是平行的,CD的厚度為0.5m,求出汽車通過坡道口的限高DF的長(結果精確到0.1m,sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53).
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