Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，OC OD，OC OD ，DC 的延長(zhǎng)線交 y 軸正半軸上點(diǎn) B ，過點(diǎn)C 作CA BD 交 x 軸負(fù)半軸于點(diǎn)A ．

（1）如圖1，求證：OAOB

（2）如圖1，連AD，作OM ∥AC交AD于點(diǎn)M，求證： BC 2OM

（3）如圖2，點(diǎn)E為OC 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連DE，過點(diǎn)D作DFDE且DF DE ，連CF 交 DO 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G 若OG 4，求CE 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CE=OT=8．

【解析】

（1）由OC⊥OD，CA⊥BD知∠COD=∠BCA=∠AOB=90°，從而得∠AOC=∠BOD，∠OBD=∠OAC，結(jié)合OC=OD證△AOC≌△BOD可得答案；

（2）作AN∥OD，交OM延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，先證△BOC≌△OAN得BC=ON，AN=OC=OD，再證△AMN≌△DMO得OM=MN=ON，從而得證；

（3）作FT⊥DG，交DG延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，先證△FTD≌△DOE得FT=OD=OC，DT=OE，再證△FTG≌△COG得OT=2OG=8，根據(jù)OE=DT，OC=OD可得CE=OT．

解：（1）∵OC⊥OD，CA⊥BD，

∴∠COD=∠BCA=∠AOB=90°，

∴∠BOC+∠COE=90°, ∠DOE+∠COE=90°,

∴∠BOC=∠DOE,

∴∠AOC=∠BOD，

同理可證∠OBD=∠OAC，

在△AOC和△BOD中，

∵，

∴△AOC≌△BOD（AAS），

∴OA=OB；

（2）如圖1，過點(diǎn)A作AN∥OD，交OM延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

則∠OAN+∠AOD=180°，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOD+∠BOC=180°，

∴∠OAN=∠BOC，

又∵OM∥AC，

∴∠AON=∠CAO，

由（1）知∠CAO=∠OBC，

∴∠AON=∠OBC，

又∵OA=OB，

∴△BOC≌△OAN（ASA），

∴BC=ON，AN=OC=OD，

∵AN∥OD，

∴∠MAN=∠MDO，∠MNA=∠MOD，

∴△AMN≌△DMO（ASA），

∴OM=MN=ON，即ON=2OM，

∴BC=2OM；

（3）如圖2，過點(diǎn)F作FT⊥DG，交DG延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，

則∠FTD=∠DOE=90°，

∴∠ODE+∠OED=90°，

又∵DE⊥DF，

∴∠ODE+∠FDT=90°，

∴∠OED=∠TDF，

∵DE=DF，

∴△FTD≌△DOE（AAS），

∴FT=OD，DT=OE，

∵OD=OC，

∴FT=OC，

∵∠FTG=∠COG=90°，∠FGT=∠CGO，

∴△FTG≌△COG（AAS），

∴OT=2OG=8，

∵OE=DT，OC=OD，

∴CE=OT=8．