Question

【題目】如圖，在ABCD中，BC＝10，對(duì)角線AC⊥AB，點(diǎn)EF在BC、AD上，且BE＝DF．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當(dāng)四邊形AECF是菱形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5．

【解析】

（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC，再證明AF=EC，可證明四邊形AECF是平行四邊形；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AE=CE，得出∠EAC=∠ECA，由角的互余關(guān)系證出∠B=∠BAE，得出AE=BE，從而可得E為BC中點(diǎn)，即BE=BC．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵BE＝DF，

∴AF＝EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：如圖，∵四邊形AECF是菱形，

∴AE＝CE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠ECA＝90°，∠BAE＋∠EAC＝90°，

∴∠B＝∠BAE，

∴AE＝BE，

∴BE＝CE＝BC＝10＝5．