Question

【題目】如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E、F、G分別在邊AB、AD、CD上，EG與BF交于點I，AE=2，BF=EG，DG>AE，則DI的最小值為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

過點E作EM⊥CD于點M，取BE的中點O，連接OI、OD，根據HL證明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF=∠MEG，所以再證明∠EPF=90°，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OI=BE，由OD-OI≤DI，當O、D、I共線時，DI有最小值，即可求DI的最小值．

如圖，過點E作EM⊥CD于點M，取BE的中點O，連接OI、OD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠A=∠D=∠DME=90°，AB∥CD，

∴四邊形ADME是矩形，

∴EM=AD=AB，

∵BF=EG，

∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），

∴∠ABF=∠MEG，∠AFB=∠EGM，

∵AB∥CD

∴∠MGE=∠BEG=∠AFB

∵∠ABF+∠AFB=90°

∴∠ABF+∠BEG=90°

∴∠EIF=90°，

∴BF⊥EG；

∵△EIB是直角三角形，

∴OI=BE，

∵AB=6，AE=2，

∴BE=6-2=4，OB=OE=2，

∵OD-OI≤DI，

∴當O、D、I共線時，DI有最小值，

∵IO=BE=2，

∴OD==2，

∴ID=2-2，即DI的最小值為2-2，

故答案為：2-2.